Capitulo 1.1 N° Racional, escribiendo en fracciones
11. Ejercitación con Potencias de Base Fraccionaria y Exponente Natural
Ejercitación con Potencias de Base Fraccionaria y Exponente Natural
En esta página, pondremos en práctica las propiedades de las potencias de base fraccionaria y exponente natural que hemos aprendido. Resolveremos ejercicios combinados, determinaremos términos desconocidos y aplicaremos las propiedades para resolver problemas.
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Combinando propiedades
Simplifica la siguiente expresión:
\[ \left( \frac{2}{3} \right)^2 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \div \left( \frac{2}{3} \right)^{-4} \]Solución:
- Aplicamos la propiedad del producto de potencias de igual base: \[ \left( \frac{2}{3} \right)^2 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} = \left( \frac{2}{3} \right)^{2+(-3)} = \left( \frac{2}{3} \right)^{-1} \]
- Aplicamos la propiedad del cociente de potencias de igual base: \[ \left( \frac{2}{3} \right)^{-1} \div \left( \frac{2}{3} \right)^{-4} = \left( \frac{2}{3} \right)^{-1-(-4)} = \left( \frac{2}{3} \right)^3 \]
- Calculamos la potencia: \[ \left( \frac{2}{3} \right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27} \]
Respuesta: \( \frac{8}{27} \)
Ejemplo 2: Determinando un término desconocido
Encuentra el valor de \(x\) en la siguiente ecuación:
\[ \left( \frac{3}{5} \right)^4 \cdot \left( \frac{3}{5} \right)^x = \left( \frac{3}{5} \right)^7 \]Solución:
- Aplicamos la propiedad del producto de potencias de igual base: \[ \left( \frac{3}{5} \right)^{4+x} = \left( \frac{3}{5} \right)^7 \]
- Como las bases son iguales, los exponentes deben ser iguales: \[ 4 + x = 7 \]
- Resolvemos para \(x\): \[ x = 7 - 4 = 3 \]
Respuesta: \( x = 3 \)
Ejemplo 3: Problema de aplicación
Un terreno rectangular mide \( \left(\frac{5}{2}\right)^3 \) metros de largo y \( \left(\frac{5}{2}\right)^2 \) metros de ancho. ¿Cuál es el área del terreno?
Solución:
- El área de un rectángulo se calcula como \( largo \cdot ancho \).
- En este caso, el área es: \[ \left(\frac{5}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^2 \]
- Aplicamos la propiedad del producto de potencias de igual base: \[ \left(\frac{5}{2}\right)^{3+2} = \left(\frac{5}{2}\right)^5 \]
- Expresamos el resultado como fracción con potencias indicadas: \[ \frac{5^5}{2^5} \]
Respuesta: El área del terreno es \( \frac{5^5}{2^5} \) metros cuadrados.
Ejercicios
Instrucciones: Simplifica las siguientes expresiones aplicando las propiedades de las potencias. Cuando sea posible, expresa el resultado como una fracción con el numerador y el denominador como potencias. No evalúes potencias con exponente mayor a 4.
Grupo 1: Ejercicios combinados
- \( \left( \frac{2}{5} \right)^3 \cdot \left( \frac{2}{5} \right)^{-2} \div \left( \frac{2}{5} \right)^{-1} \)
- \( \left[ \left( \frac{1}{3} \right)^2 \right]^{-3} \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^5 \)
- \( \left( \frac{3}{4} \right)^{-2} \div \left( \frac{3}{4} \right)^{-4} \cdot \left( \frac{3}{4} \right) \)
- \( \left(-\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^3 \div \left(-\frac{2}{3}\right)^4 \)
- \( \left[ \left(-\frac{1}{2}\right)^{-1} \right]^3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \)
- \( \left( \frac{a}{b} \right)^3 \cdot \left( \frac{a}{b} \right)^{-1} \div \left( \frac{a}{b} \right)^{-2} \) (con \(a,b \neq 0\))
- \( \left( \frac{2x}{y} \right)^2 \div \left( \frac{2x}{y} \right)^{-1} \cdot \left( \frac{2x}{y} \right) \) (con \(x,y \neq 0\))
Grupo 2: Determinando términos desconocidos
- Encuentra \(x\) si: \( \left( \frac{1}{4} \right)^3 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^x = \left( \frac{1}{4} \right)^5 \)
- Encuentra \(y\) si: \( \left( \frac{2}{3} \right)^y \div \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} = \left( \frac{2}{3} \right)^4 \)
- Encuentra \(z\) si: \( \left[ \left( \frac{3}{5} \right)^{-2} \right]^z = \left( \frac{3}{5} \right)^6 \)
- Encuentra \(n\) si: \( \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^3 = \left(-\frac{1}{2}\right)^n \)
- Encuentra \(m\) si: \( \left(\frac{a}{b}\right)^m \div \left(\frac{a}{b}\right)^{-3} = \left(\frac{a}{b}\right)^5 \) (con \(a,b \neq 0\))
Grupo 3: Problemas de aplicación
- Un campo rectangular tiene un área de \( \left( \frac{3}{4} \right)^3 \) kilómetros cuadrados. Si el ancho del campo es \( \left( \frac{3}{4} \right) \) kilómetros, ¿cuál es su longitud?
- Una receta para un pastel requiere \( \left( \frac{2}{3} \right)^2 \) tazas de azúcar. Si quieres hacer la mitad del pastel, ¿cuántas tazas de azúcar necesitas?
- Una botella contiene \( \left( \frac{4}{5} \right)^2 \) litros de jugo. Si se reparte el jugo en vasos de \( \left( \frac{4}{5} \right) \) litros de capacidad, ¿cuántos vasos se pueden llenar?
- Un grifo llena un depósito en \( \left( \frac{2}{3} \right)^3 \) horas. ¿Cuántas horas tardarán dos grifos iguales al anterior en llenar el mismo depósito?
- Si un automóvil viaja a una velocidad promedio de \( 60 \) kilómetros por hora, ¿qué fracción de un kilómetro recorre en \( \left( \frac{1}{2} \right)^3 \) horas?