Libro de Permutaciones y Combinatoria
1. Experimentos compuestos y necesidad de contar
Objetivos de la página
- Reconocer experimentos aleatorios compuestos por más de una etapa.
- Representar resultados de experimentos compuestos usando pares ordenados o listas ordenadas.
- Organizar resultados posibles de forma sistemática.
- Comprender por qué se necesitan técnicas de conteo para calcular probabilidades.
Experimentos simples y compuestos
Un experimento aleatorio simple tiene una sola etapa. Por ejemplo, lanzar una moneda una vez.
Un experimento aleatorio compuesto tiene dos o más etapas. Por ejemplo, lanzar una moneda y luego lanzar un dado.
En los experimentos compuestos, cada resultado debe indicar lo que ocurre en cada etapa.
Representación de resultados compuestos
Cuando un experimento tiene dos etapas, un resultado se puede representar como un par ordenado:
\[ (\text{resultado de la primera etapa},\text{ resultado de la segunda etapa}) \]
Por ejemplo, si primero se lanza una moneda y luego se elige una letra entre \(A\) y \(B\), un resultado posible es:
\[ (\text{cara},A) \]
El orden importa porque indica qué ocurrió en cada etapa.
Necesidad de contar
Cuando hay pocos resultados posibles, se pueden listar uno por uno. Pero cuando las etapas tienen muchas opciones, listar todo puede ser muy largo.
Por eso se necesitan técnicas de conteo: permiten calcular cuántos resultados posibles hay sin escribirlos todos.
Ejemplo 1: moneda y letra
Se lanza una moneda y luego se elige una letra entre \(A\), \(B\) y \(C\).
Los resultados posibles son:
| Moneda | Letra | Resultado compuesto |
|---|---|---|
| cara | \(A\) | \((\text{cara},A)\) |
| cara | \(B\) | \((\text{cara},B)\) |
| cara | \(C\) | \((\text{cara},C)\) |
| sello | \(A\) | \((\text{sello},A)\) |
| sello | \(B\) | \((\text{sello},B)\) |
| sello | \(C\) | \((\text{sello},C)\) |
Hay \(6\) resultados posibles.
Si todos son igualmente probables, la probabilidad de obtener cara y luego la letra \(B\) es:
\[ P((\text{cara},B))=\frac{1}{6} \]
Ejemplo 2: respuestas en una prueba breve
Una prueba tiene dos preguntas de verdadero o falso. Cada resultado se representa indicando primero la respuesta de la pregunta 1 y luego la respuesta de la pregunta 2.
Los resultados posibles son:
\[ (V,V),\quad (V,F),\quad (F,V),\quad (F,F) \]
Hay \(4\) resultados posibles.
Observa que \((V,F)\) y \((F,V)\) no significan lo mismo: en el primero, la pregunta 1 es verdadera y la pregunta 2 es falsa; en el segundo ocurre al revés.
Ejemplo 3: elegir un menú
En un casino escolar se debe elegir un jugo y un sándwich.
Opciones de jugo:
\[ \text{naranja},\quad \text{manzana} \]
Opciones de sándwich:
\[ \text{queso},\quad \text{pollo},\quad \text{palta} \]
Los menús posibles son:
\[ (\text{naranja},\text{queso}),\quad (\text{naranja},\text{pollo}),\quad (\text{naranja},\text{palta}) \]
\[ (\text{manzana},\text{queso}),\quad (\text{manzana},\text{pollo}),\quad (\text{manzana},\text{palta}) \]
Hay \(6\) menús posibles.
Error frecuente
No se debe contar solo las etapas. Un experimento con dos etapas no tiene necesariamente dos resultados.
La cantidad de resultados depende de cuántas opciones haya en cada etapa.
Ejercicio 1
Clasifica cada situación como experimento simple o experimento compuesto.
a) Lanzar una moneda una vez.
b) Lanzar una moneda y luego lanzar un dado.
c) Elegir una carta de un grupo de cartas numeradas.
d) Elegir una polera y luego elegir un pantalón.
a) Es un experimento simple, porque tiene una sola etapa: lanzar una moneda.
b) Es un experimento compuesto, porque tiene dos etapas: lanzar una moneda y lanzar un dado.
c) Es un experimento simple, porque solo se elige una carta.
d) Es un experimento compuesto, porque hay dos etapas: elegir una polera y elegir un pantalón.
Ejercicio 2
Se lanza una moneda y luego se elige una letra entre \(A\) y \(B\).
a) Lista todos los resultados posibles.
b) ¿Cuántos resultados posibles hay?
c) Si todos los resultados son igualmente probables, calcula la probabilidad de obtener \((\text{cara},A)\).
a) Los resultados posibles son:
\[ (\text{cara},A),\quad (\text{cara},B),\quad (\text{sello},A),\quad (\text{sello},B) \]
b) Hay \(4\) resultados posibles.
c) El resultado \((\text{cara},A)\) es uno de los \(4\) resultados posibles. Por lo tanto:
\[ P((\text{cara},A))=\frac{1}{4} \]
Ejercicio 3
Una clave breve se forma eligiendo primero un número entre \(1\) y \(2\), y luego una letra entre \(A\), \(B\) y \(C\).
a) Lista todas las claves posibles.
b) ¿Cuántas claves posibles hay?
Primero fijamos el número \(1\) y listamos todas las letras:
\[ (1,A),\quad (1,B),\quad (1,C) \]
Luego fijamos el número \(2\):
\[ (2,A),\quad (2,B),\quad (2,C) \]
a) Todas las claves posibles son:
\[ (1,A),\quad (1,B),\quad (1,C),\quad (2,A),\quad (2,B),\quad (2,C) \]
b) Hay \(6\) claves posibles.
Ejercicio 4
En un menú se elige una bebida y un postre.
Bebidas disponibles:
\[ \text{agua},\quad \text{jugo} \]
Postres disponibles:
\[ \text{fruta},\quad \text{yogur},\quad \text{gelatina} \]
a) Lista todos los menús posibles.
b) ¿Cuántos menús posibles hay?
Combinamos cada bebida con cada postre.
Con agua:
\[ (\text{agua},\text{fruta}),\quad (\text{agua},\text{yogur}),\quad (\text{agua},\text{gelatina}) \]
Con jugo:
\[ (\text{jugo},\text{fruta}),\quad (\text{jugo},\text{yogur}),\quad (\text{jugo},\text{gelatina}) \]
a) Esos son todos los menús posibles.
b) Hay \(6\) menús posibles.
Ejercicio 5
Se lanzan dos monedas, una después de la otra.
a) Lista todos los resultados posibles.
b) Explica por qué \((\text{cara},\text{sello})\) y \((\text{sello},\text{cara})\) son resultados distintos.
c) Si todos los resultados son igualmente probables, calcula la probabilidad de obtener exactamente una cara.
a) Los resultados posibles son:
\[ (\text{cara},\text{cara}),\quad (\text{cara},\text{sello}),\quad (\text{sello},\text{cara}),\quad (\text{sello},\text{sello}) \]
b) Son resultados distintos porque el orden indica qué ocurrió en el primer lanzamiento y qué ocurrió en el segundo.
En \((\text{cara},\text{sello})\), primero sale cara y luego sello.
En \((\text{sello},\text{cara})\), primero sale sello y luego cara.
c) Exactamente una cara ocurre en:
\[ (\text{cara},\text{sello}),\quad (\text{sello},\text{cara}) \]
Hay \(2\) casos favorables de \(4\) posibles. Por lo tanto:
\[ P(\text{exactamente una cara})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \]
Ejercicio 6
Una persona elige una polera y un pantalón.
Poleras disponibles:
\[ \text{roja},\quad \text{azul} \]
Pantalones disponibles:
\[ \text{negro},\quad \text{gris} \]
a) Lista todas las tenidas posibles.
b) ¿Cuántas tenidas posibles hay?
c) Si se elige una tenida al azar, calcula la probabilidad de elegir polera azul.
a) Las tenidas posibles son:
\[ (\text{roja},\text{negro}),\quad (\text{roja},\text{gris}),\quad (\text{azul},\text{negro}),\quad (\text{azul},\text{gris}) \]
b) Hay \(4\) tenidas posibles.
c) Las tenidas con polera azul son:
\[ (\text{azul},\text{negro}),\quad (\text{azul},\text{gris}) \]
Hay \(2\) casos favorables de \(4\) posibles. Entonces:
\[ P(\text{polera azul})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \]
Ejercicio 7
Se lanza una moneda y luego se elige un número entre \(1\), \(2\) y \(3\).
a) Lista todos los resultados posibles.
b) Calcula la probabilidad de obtener cara y un número par.
c) Calcula la probabilidad de obtener sello.
a) Los resultados posibles son:
\[ (\text{cara},1),\quad (\text{cara},2),\quad (\text{cara},3),\quad (\text{sello},1),\quad (\text{sello},2),\quad (\text{sello},3) \]
Hay \(6\) resultados posibles.
b) Cara y número par ocurre solo en:
\[ (\text{cara},2) \]
Por lo tanto:
\[ P(\text{cara y número par})=\frac{1}{6} \]
c) Obtener sello ocurre en:
\[ (\text{sello},1),\quad (\text{sello},2),\quad (\text{sello},3) \]
Hay \(3\) casos favorables de \(6\) posibles:
\[ P(\text{sello})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]
Ejercicio 8
Un estudiante debe listar los resultados posibles de elegir primero una letra entre \(A\) y \(B\), y luego un número entre \(1\) y \(2\).
Escribe:
\[ (A,1),\quad (B,2) \]
¿Su lista está completa? Corrígela y explica el error.
La lista no está completa.
El error es no combinar cada letra con cada número.
La lista completa es:
\[ (A,1),\quad (A,2),\quad (B,1),\quad (B,2) \]
Hay \(4\) resultados posibles, no \(2\).
Ejercicio 9
Una plataforma genera una recomendación eligiendo un formato y un tema.
Formatos:
\[ \text{video},\quad \text{texto},\quad \text{actividad} \]
Temas:
\[ \text{matemática},\quad \text{ciencias} \]
a) Lista todos los resultados posibles.
b) Si todas las combinaciones son igualmente probables, calcula la probabilidad de que la recomendación sea de matemática.
a) Los resultados posibles son:
\[ (\text{video},\text{matemática}),\quad (\text{video},\text{ciencias}) \]
\[ (\text{texto},\text{matemática}),\quad (\text{texto},\text{ciencias}) \]
\[ (\text{actividad},\text{matemática}),\quad (\text{actividad},\text{ciencias}) \]
Hay \(6\) resultados posibles.
b) Las recomendaciones de matemática son:
\[ (\text{video},\text{matemática}),\quad (\text{texto},\text{matemática}),\quad (\text{actividad},\text{matemática}) \]
Hay \(3\) casos favorables de \(6\) posibles. Entonces:
\[ P(\text{matemática})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]
Ejercicio 10
Una clave se forma eligiendo primero una letra entre \(A\), \(B\) y \(C\), y luego un dígito entre \(0\), \(1\), \(2\) y \(3\).
a) ¿Por qué listar todas las claves empieza a ser menos conveniente?
b) ¿Cuántas claves posibles hay?
c) Explica por qué este tipo de situación muestra la necesidad de técnicas de conteo.
a) Listar todas las claves empieza a ser menos conveniente porque hay varias combinaciones. Si aumentan las letras o los dígitos, la lista crece rápidamente.
b) Hay \(3\) opciones de letra y \(4\) opciones de dígito. Al combinar cada letra con cada dígito, se obtienen:
\[ 3\cdot 4=12 \]
Por lo tanto, hay \(12\) claves posibles.
c) Esta situación muestra la necesidad de técnicas de conteo porque permite calcular cuántos resultados hay sin escribirlos todos uno por uno.
Ejercicio 11
Para organizar una salida escolar se elige un medio de transporte y un horario.
Medios de transporte:
\[ \text{bus},\quad \text{metro},\quad \text{caminata} \]
Horarios:
\[ \text{mañana},\quad \text{tarde} \]
a) Lista todos los resultados posibles.
b) Si todas las opciones son igualmente probables, calcula la probabilidad de elegir bus.
c) Calcula la probabilidad de elegir horario de tarde.
a) Los resultados posibles son:
\[ (\text{bus},\text{mañana}),\quad (\text{bus},\text{tarde}) \]
\[ (\text{metro},\text{mañana}),\quad (\text{metro},\text{tarde}) \]
\[ (\text{caminata},\text{mañana}),\quad (\text{caminata},\text{tarde}) \]
Hay \(6\) resultados posibles.
b) Elegir bus ocurre en:
\[ (\text{bus},\text{mañana}),\quad (\text{bus},\text{tarde}) \]
Hay \(2\) casos favorables de \(6\) posibles:
\[ P(\text{bus})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \]
c) Elegir horario de tarde ocurre en:
\[ (\text{bus},\text{tarde}),\quad (\text{metro},\text{tarde}),\quad (\text{caminata},\text{tarde}) \]
Hay \(3\) casos favorables de \(6\) posibles:
\[ P(\text{tarde})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]
Ejercicio 12
Un estudiante afirma:
“Si un experimento tiene dos etapas, entonces tiene solo dos resultados posibles”.
¿La afirmación es correcta? Explica con un ejemplo.
La afirmación no es correcta.
La cantidad de etapas no es lo mismo que la cantidad de resultados posibles.
Por ejemplo, si se lanza una moneda y luego se elige una letra entre \(A\), \(B\) y \(C\), hay dos etapas:
- etapa 1: lanzar la moneda;
- etapa 2: elegir una letra.
Pero los resultados posibles son:
\[ (\text{cara},A),\quad (\text{cara},B),\quad (\text{cara},C),\quad (\text{sello},A),\quad (\text{sello},B),\quad (\text{sello},C) \]
Hay \(6\) resultados posibles, no \(2\).
Para continuar
En la próxima página se estudiará el principio multiplicativo de conteo, que permite calcular la cantidad de resultados posibles sin listar todos los casos.