Libro de los Logaritmos
2. El logaritmo como pregunta
Objetivos
- Interpretar un logaritmo como el exponente que falta en una potencia.
- Convertir expresiones entre forma exponencial y forma logarítmica.
- Estimar logaritmos sencillos comparando con potencias conocidas.
La pregunta central
La expresión \(\log_a(c)\) no es una operación aislada: pregunta por un exponente.
\[ \log_a(c)=\text{exponente al que se eleva }a\text{ para obtener }c. \]
Equivalencia fundamental
\[ \log_a(c)=b \iff a^b=c \]
La forma logarítmica y la forma exponencial dicen la misma información, pero desde puntos de vista distintos.
Recordatorio de notación decimal
Cuando la base es \(10\), se puede escribir simplemente \(\log\).
Por ejemplo:
\[ \log(10000)=\log_{10}(10000)=4. \]
Ejemplo 1: de potencia a logaritmo
Si:
\[ 2^6=64, \]
entonces:
\[ \log_2(64)=6. \]
Ejemplo 2: de logaritmo a potencia
\[ \log_4(256)=4 \]
significa que:
\[ 4^4=256. \]
Ejemplo 3: estimar un logaritmo
Para estimar \(\log_2(20)\), comparamos con potencias de \(2\):
\[ 2^4=16 \quad \text{y} \quad 2^5=32. \]
Como \(20\) está entre \(16\) y \(32\), se cumple:
\[ 4<\log_2(20)<5. \]
Ejercicio 1
Completa la equivalencia:
\[ 2^6=64 \iff \log_2(64)=\boxed{\phantom{00}} \]
Como \(2^6=64\), el exponente que falta es \(6\). Por lo tanto:
\[ \log_2(64)=6. \]
Ejercicio 2
Escribe en forma exponencial:
\[ \log_3(81)=4 \]
La base es \(3\), el argumento es \(81\) y el valor del logaritmo es \(4\). Entonces:
\[ 3^4=81. \]
Ejercicio 3
Calcula mentalmente:
\[ \log(100000) \]
Como \(\log(x)\) significa \(\log_{10}(x)\), buscamos el exponente de \(10\):
\[ 100000=10^5. \]
Por lo tanto, \(\log(100000)=5\).
Ejercicio 4
Ubica \(\log_3(20)\) entre dos números enteros consecutivos.
Comparamos con potencias de \(3\):
\[ 3^2=9 \quad \text{y} \quad 3^3=27. \]
Como \(20\) está entre \(9\) y \(27\), entonces:
\[ 2<\log_3(20)<3. \]
Ejercicio 5
Explica con palabras qué pregunta responde:
\[ \log_5(125) \]
Responde a la pregunta: ¿a qué exponente debo elevar \(5\) para obtener \(125\)?
Como \(5^3=125\), se tiene \(\log_5(125)=3\).