Libro de los Logaritmos
4. Propiedad del producto
Objetivos
- Aplicar la propiedad del producto para transformar el logaritmo de una multiplicación en una suma.
- Distinguir entre logaritmo de un producto y logaritmo de una suma.
Propiedad del producto
Si \(a>0\), \(a\neq 1\), \(b>0\) y \(c>0\), entonces:
\[ \log_a(bc)=\log_a(b)+\log_a(c). \]
En base decimal:
\[ \log(bc)=\log(b)+\log(c). \]
Qué significa
El logaritmo de un producto se puede separar como suma de logaritmos con la misma base.
Ejemplo 1: aplicación directa
\[ \log_2(4\cdot 8)=\log_2(4)+\log_2(8) \]
\[ =2+3=5. \]
Esto coincide con \(\log_2(32)=5\).
Ejemplo 2: forma literal
\[ \log_a(mn)=\log_a(m)+\log_a(n) \]
Esta igualdad exige \(m>0\) y \(n>0\).
Ejemplo 3: producto en base decimal
\[ \log(2\cdot 50)=\log(2)+\log(50) \]
Como \(2\cdot 50=100\), se tiene:
\[ \log(2)+\log(50)=\log(100)=2. \]
Ejercicio 1
Aplica la propiedad del producto y calcula:
- \(\log_2(2\cdot 8)\)
- \(\log_5(5\cdot 25)\)
- \(\log(10\cdot 100)\)
- \(\log_2(2)+\log_2(8)=1+3=4\).
- \(\log_5(5)+\log_5(25)=1+2=3\).
- \(\log(10)+\log(100)=1+2=3\).
Ejercicio 2
Reescribe usando suma de logaritmos:
- \(\log_a(xy)\)
- \(\log_7(mn)\)
- \(\log(uv)\)
- \(\log_a(xy)=\log_a(x)+\log_a(y)\).
- \(\log_7(mn)=\log_7(m)+\log_7(n)\).
- \(\log(uv)=\log(u)+\log(v)\), en base decimal.
Ejercicio 3
Decide si la transformación es correcta o incorrecta:
- \(\log_a(xy)=\log_a(x)+\log_a(y)\)
- \(\log_a(x+y)=\log_a(x)+\log_a(y)\)
- \(\log(2\cdot 5)=\log(2)+\log(5)\)
- Correcta: es la propiedad del producto.
- Incorrecta: no existe propiedad para separar una suma dentro del logaritmo.
- Correcta: es la propiedad del producto en base decimal.
Error frecuente
No se debe confundir producto con suma:
\[ \log_a(x+y)\neq \log_a(x)+\log_a(y). \]