Libro de los Logaritmos
5. Propiedad del cociente
Objetivos
- Aplicar la propiedad del cociente para transformar el logaritmo de una división en una resta.
- Usar correctamente las condiciones de positividad de numerador y denominador.
Propiedad del cociente
Si \(a>0\), \(a\neq 1\), \(b>0\) y \(c>0\), entonces:
\[ \log_a\left(\frac{b}{c}\right)=\log_a(b)-\log_a(c). \]
En base decimal:
\[ \log\left(\frac{b}{c}\right)=\log(b)-\log(c). \]
Qué significa
El logaritmo de un cociente se puede separar como resta de logaritmos con la misma base.
Ejemplo 1: aplicación directa
\[ \log_2\left(\frac{32}{4}\right)=\log_2(32)-\log_2(4) \]
\[ =5-2=3. \]
Ejemplo 2: forma literal
\[ \log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a(x)-\log_a(y) \]
Se requiere \(x>0\) y \(y>0\).
Ejemplo 3: cociente decimal
\[ \log\left(\frac{1000}{10}\right)=\log(1000)-\log(10) \]
\[ =3-1=2. \]
Ejercicio 1
Aplica la propiedad del cociente y calcula:
- \(\log_2\left(\frac{8}{2}\right)\)
- \(\log_5\left(\frac{125}{5}\right)\)
- \(\log\left(\frac{10000}{100}\right)\)
- \(\log_2(8)-\log_2(2)=3-1=2\).
- \(\log_5(125)-\log_5(5)=3-1=2\).
- \(\log(10000)-\log(100)=4-2=2\).
Ejercicio 2
Reescribe usando resta de logaritmos:
- \(\log_a\left(\frac{m}{n}\right)\)
- \(\log_7\left(\frac{x}{y}\right)\)
- \(\log\left(\frac{u}{v}\right)\)
- \(\log_a(m)-\log_a(n)\).
- \(\log_7(x)-\log_7(y)\).
- \(\log(u)-\log(v)\), en base decimal.
Ejercicio 3
Completa:
- \(\log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\boxed{\phantom{000000000}}\)
- \(\log\left(\frac{100}{10}\right)=\boxed{\phantom{00}}\)
- \(\log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a(x)-\log_a(y)\).
- \(\log\left(\frac{100}{10}\right)=\log(10)=1\).
Cuidado con las condiciones
Para usar la propiedad se requiere que las expresiones que aparecen como argumentos sean positivas.