Libro de los Logaritmos
8. Expandir o condensar logaritmos
Objetivos
- Usar propiedades de producto, cociente y potencia para transformar expresiones logarítmicas.
- Distinguir cuándo conviene expandir un logaritmo y cuándo conviene condensar varios logaritmos.
- Usar correctamente la notación decimal \(\log(x)=\log_{10}(x)\).
Dos direcciones posibles
Expandir significa separar un logaritmo usando propiedades.
Condensar significa reunir varios logaritmos en uno solo.
Propiedades que se usan
\[ \log_a(xy)=\log_a(x)+\log_a(y) \]
\[ \log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a(x)-\log_a(y) \]
\[ \log_a(x^r)=r\log_a(x) \]
Las mismas propiedades se usan con \(\log(x)\) cuando la base es decimal.
Cómo decidir
- Si hay un producto, cociente o potencia dentro de un logaritmo, puede convenir expandir.
- Si hay una suma o resta de logaritmos con la misma base, puede convenir condensar.
- Si aparece \(\log(x)\) sin base, se trabaja en base \(10\).
Ejemplo 1: expandir un producto y una potencia
Expandamos:
\[ \log_2(8x^3) \]
\[ \log_2(8x^3)=\log_2(8)+\log_2(x^3) \]
\[ =3+3\log_2(x). \]
Se requiere \(x>0\).
Ejemplo 2: expandir un cociente
\[ \log_5\left(\frac{25a}{b^2}\right) =\log_5(25a)-\log_5(b^2) \]
\[ =\log_5(25)+\log_5(a)-2\log_5(b) \]
\[ =2+\log_5(a)-2\log_5(b). \]
Ejemplo 3: condensar logaritmos decimales
Condensemos:
\[ 2\log(x)-\log(y) \]
Como \(\log\) sin base es base \(10\), primero usamos la potencia:
\[ 2\log(x)=\log(x^2) \]
Luego usamos el cociente:
\[ 2\log(x)-\log(y)=\log\left(\frac{x^2}{y}\right). \]
Ejercicio 1
Expande:
\[ \log_3(9x) \]
\[ \log_3(9x)=\log_3(9)+\log_3(x)=2+\log_3(x). \]
Ejercicio 2
Expande:
\[ \log_4\left(\frac{x^2}{16}\right) \]
\[ \log_4\left(\frac{x^2}{16}\right)=\log_4(x^2)-\log_4(16)=2\log_4(x)-2. \]
Ejercicio 3
Condensa:
\[ \log_2(a)+\log_2(b) \]
Como tienen la misma base y están sumados:
\[ \log_2(a)+\log_2(b)=\log_2(ab). \]
Ejercicio 4
Condensa la expresión decimal:
\[ 3\log(x)+\log(y) \]
\[ 3\log(x)=\log(x^3) \]
Entonces:
\[ 3\log(x)+\log(y)=\log(x^3y). \]
Ejercicio 5
Explica por qué esta igualdad es incorrecta en general:
\[ \log(2+x)=\log(2)+\log(x) \]
Es incorrecta porque la propiedad del producto separa multiplicaciones, no sumas:
\[ \log(2x)=\log(2)+\log(x), \]
pero no existe una propiedad que permita separar \(\log(2+x)\) de esa forma.
Ejercicio 6
Decide si conviene expandir o condensar, y luego transforma:
\[ \log_3(x)+2\log_3(y)-\log_3(z) \]
Conviene condensar porque hay suma y resta de logaritmos con la misma base.
\[ 2\log_3(y)=\log_3(y^2) \]
\[ \log_3(x)+2\log_3(y)-\log_3(z)=\log_3\left(\frac{xy^2}{z}\right). \]
Error frecuente
No se pueden mezclar bases distintas. Para condensar o expandir, los logaritmos deben estar en la misma base.