Libro de los Logaritmos
10. Bases potencia y bases raíz
Objetivos
- Aplicar propiedades de logaritmos cuando la base está escrita como potencia o como raíz.
- Reescribir bases para compararlas con el argumento.
Idea clave
Cuando la base es una potencia o una raíz, conviene expresarla como potencia de una base conocida.
Base escrita como potencia
Si \(a>0\), \(a\neq 1\) y \(m\neq 0\):
\[ \log_{a^m}(a^n)=\frac{n}{m}. \]
Base escrita como raíz
Como \(\sqrt[m]{a}=a^{1/m}\), entonces:
\[ \log_{\sqrt[m]{a}}(a^n)=mn. \]
Ejemplo 1: base potencia
\[ \log_{3^2}(3)=\log_9(3) \]
Como \(9^{1/2}=3\), entonces:
\[ \log_9(3)=\frac{1}{2}. \]
Ejemplo 2: base raíz cuadrada
\[ \log_{\sqrt{5}}(5) \]
Como \(\sqrt{5}=5^{1/2}\), buscamos \(x\) tal que:
\[ (5^{1/2})^x=5. \]
Entonces \(x=2\).
Ejemplo 3: base raíz cúbica
\[ \log_{\sqrt[3]{7}}(7)=3 \]
porque \((7^{1/3})^3=7\).
Ejercicio 1
Calcula:
- \(\log_{3^2}(3)\)
- \(\log_{5^4}(5)\)
- \(\log_{10^3}(10)\)
- \(\log_{3^2}(3)=\frac{1}{2}\).
- \(\log_{5^4}(5)=\frac{1}{4}\).
- \(\log_{10^3}(10)=\frac{1}{3}\).
Ejercicio 2
Calcula:
- \(\log_{\sqrt{2}}(2)\)
- \(\log_{\sqrt[4]{3}}(3)\)
- \(\log_{\sqrt[5]{11}}(11)\)
- \(\log_{\sqrt{2}}(2)=2\).
- \(\log_{\sqrt[4]{3}}(3)=4\).
- \(\log_{\sqrt[5]{11}}(11)=5\).
Ejercicio 3
Completa:
- \(\log_{a^m}(a)=\boxed{\phantom{000}}\)
- \(\log_{\sqrt[m]{a}}(a)=\boxed{\phantom{000}}\)
- \(\log_{a^m}(a)=\frac{1}{m}\).
- \(\log_{\sqrt[m]{a}}(a)=m\).
Cuidado
No se cambia la base por gusto: se reescribe para comparar exponentes. Siempre deben cumplirse las condiciones de existencia.