Libro de los Logaritmos
11. Potencias en la base y en el argumento
Objetivos
- Simplificar logaritmos cuando base y argumento aparecen como potencias.
- Comparar exponentes al expresar todo con una misma base.
Idea clave
Si base y argumento se pueden escribir con una misma base, el logaritmo se transforma en una comparación de exponentes.
Caso fundamental
\[ \log_{a^m}(a^n)=\frac{n}{m} \]
con \(a>0\), \(a\neq 1\) y \(m\neq 0\).
Forma con argumento distinto
También se puede usar:
\[ \log_{a^m}(b^n)=\frac{n}{m}\log_a(b). \]
Ejemplo 1: misma base
\[ \log_{3^2}(3^8)=\frac{8}{2}=4. \]
Ejemplo 2: otro caso directo
\[ \log_{10^4}(10^2)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}. \]
Ejemplo 3: base y argumento reducibles
\[ \log_4(8)=\log_{2^2}(2^3)=\frac{3}{2}. \]
Ejemplo 4: fórmula general
\[ \log_{3^2}(7^4)=\frac{4}{2}\log_3(7)=2\log_3(7). \]
Ejercicio 1
Calcula:
- \(\log_{3^2}(3^8)\)
- \(\log_{10^4}(10^2)\)
- \(\log_{7^3}(7^6)\)
- \(\frac{8}{2}=4\).
- \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\).
- \(\frac{6}{3}=2\).
Ejercicio 2
Simplifica:
- \(\log_{a^b}(a^c)\)
- \(\log_{m^2}(m^5)\)
- \(\log_{x^7}(x^3)\)
- \(\log_{a^b}(a^c)=\frac{c}{b}\).
- \(\log_{m^2}(m^5)=\frac{5}{2}\).
- \(\log_{x^7}(x^3)=\frac{3}{7}\).
Ejercicio 3
Aplica la fórmula general:
- \(\log_{2^2}(5^3)\)
- \(\log_{a^4}(c^2)\)
- \(\log_{2^2}(5^3)=\frac{3}{2}\log_2(5)\).
- \(\log_{a^4}(c^2)=\frac{2}{4}\log_a(c)=\frac{1}{2}\log_a(c)\).
Error frecuente
No se deben cancelar bases si no se han reescrito correctamente como potencias comparables.