Libro de los Logaritmos
15. Interpretación gráfica del logaritmo
Objetivos
- Interpretar gráficamente la función logarítmica decimal.
- Reconocer dominio, puntos clave y crecimiento de \(y=\log(x)\).
- Relacionar la función logarítmica con la función exponencial \(y=10^x\).
Idea clave
La función \(y=\log(x)\) responde: ¿a qué exponente debo elevar \(10\) para obtener \(x\)?
Función logarítmica decimal
\[ y=\log(x)=\log_{10}(x) \]
Su dominio es \(x>0\).
Puntos importantes
| \(x\) | \(\log(x)\) | Razón |
|---|---|---|
| \(1\) | \(0\) | \(10^0=1\) |
| \(10\) | \(1\) | \(10^1=10\) |
| \(100\) | \(2\) | \(10^2=100\) |
| \(0.1\) | \(-1\) | \(10^{-1}=0.1\) |
Crecimiento lento
Para que \(\log(x)\) aumente de \(1\) a \(2\), \(x\) debe pasar de \(10\) a \(100\). Para aumentar de \(2\) a \(3\), \(x\) debe pasar de \(100\) a \(1000\).
Relación de inversa
\[ y=\log(x) \iff 10^y=x. \]
Por eso, \(y=\log(x)\) es la función inversa de \(y=10^x\).
Ejemplo 1: lectura de un punto
El punto \((100,2)\) pertenece a la gráfica de \(y=\log(x)\), porque:
\[ \log(100)=2. \]
Ejemplo 2: dominio
\(\log(-10)\) no aparece en la gráfica real porque el dominio de \(y=\log(x)\) es \(x>0\).
Ejemplo 3: comparación con la exponencial
Si \(\log(1000)=3\), entonces la afirmación equivalente es:
\[ 10^3=1000. \]
Ejercicio 1
Completa la tabla:
| \(x\) | \(\log(x)\) |
|---|---|
| \(1\) | \(\boxed{\phantom{00}}\) |
| \(10\) | \(\boxed{\phantom{00}}\) |
| \(1000\) | \(\boxed{\phantom{00}}\) |
\[ \log(1)=0,\qquad \log(10)=1,\qquad \log(1000)=3. \]
Ejercicio 2
Responde:
- ¿Para qué valores de \(x\) existe \(y=\log(x)\)?
- ¿Pasa por el punto \((1,0)\)?
- ¿Crece o decrece?
- Existe para \(x>0\).
- Sí, porque \(\log(1)=0\).
- Crece, aunque lentamente.
Ejercicio 3
Explica la relación entre \(y=\log(x)\) y \(y=10^x\).
Son funciones inversas. Si \(\log(x)=y\), entonces \(10^y=x\). Una deshace la acción de la otra.
Cuidado
La gráfica nunca toca ni cruza el eje \(y\), porque \(x=0\) no pertenece al dominio.