Libro de los Logaritmos
17. Ejercicios integrados de logaritmos
Objetivos
- Aplicar de manera integrada definición, propiedades, cambio de base, cancelaciones y restricciones.
- Seleccionar la estrategia adecuada según el tipo de ejercicio.
- Justificar pasos principales al simplificar o calcular expresiones logarítmicas.
Estrategia general
Revisa primero si el ejercicio se resuelve por definición, por propiedades, por cambio de base, por cancelación o por análisis de restricciones.
Recuerda: \(\log(x)\) significa \(\log_{10}(x)\).
Antes de comenzar
No apliques propiedades si hay sumas o restas dentro del logaritmo. Primero identifica la estructura real de la expresión.
Ejercicio 1: casos fundamentales
Calcula:
- \(\log_6(1)\)
- \(\log_6(6)\)
- \(\log(1000)\)
- \(\log_6(1)=0\).
- \(\log_6(6)=1\).
- \(\log(1000)=3\).
Ejercicio 2: propiedad del producto
Simplifica:
\[ \log_2(4)+\log_2(8) \]
\[ \log_2(4)+\log_2(8)=\log_2(32)=5. \]
Ejercicio 3: propiedad del cociente
Simplifica:
\[ \log\left(\frac{10000}{10}\right) \]
\[ \log\left(\frac{10000}{10}\right)=\log(1000)=3. \]
Ejercicio 4: propiedad de la potencia
Simplifica:
\[ \log_3(9^4) \]
\[ \log_3(9^4)=4\log_3(9)=4\cdot 2=8. \]
Ejercicio 5: logaritmo de una raíz
Simplifica:
\[ \log(\sqrt{100}) \]
\[ \log(\sqrt{100})=\frac{1}{2}\log(100)=1. \]
Ejercicio 6: cambio de base
Reescribe usando logaritmo decimal:
\[ \log_7(12) \]
\[ \log_7(12)=\frac{\log(12)}{\log(7)}. \]
Ejercicio 7: bases potencia y raíz
Calcula:
\[ \log_{\sqrt{3}}(3) \]
Como \(\sqrt{3}=3^{1/2}\), entonces:
\[ \log_{\sqrt{3}}(3)=2. \]
Ejercicio 8: potencias en base y argumento
Calcula:
\[ \log_{5^2}(5^7) \]
\[ \log_{5^2}(5^7)=\frac{7}{2}. \]
Ejercicio 9: cancelación
Simplifica:
- \(\log_4(4^x)\)
- \(10^{\log(m)}\)
- \(\log_4(4^x)=x\).
- \(10^{\log(m)}=m\), con \(m>0\).
Ejercicio 10: restricciones
Determina la restricción:
\[ \log_2(x-5) \]
El argumento debe ser positivo:
\[ x-5>0 \Rightarrow x>5. \]
Ejercicio 11: verdadero o falso
Decide si cada igualdad es verdadera o falsa:
- \(\log_a(xy)=\log_a(x)+\log_a(y)\)
- \(\log(x+y)=\log(x)+\log(y)\)
- \(\log_a(x^n)=n\log_a(x)\)
- Verdadera, con argumentos positivos.
- Falsa en general: no se separan sumas.
- Verdadera, con \(x>0\).
Ejercicio 12: desarrollo mixto
Simplifica al máximo:
\[ \log_2\left(\frac{8^2\cdot 4}{2}\right) \]
Reescribimos todo como potencia de \(2\):
\[ 8^2=(2^3)^2=2^6,\qquad 4=2^2. \]
Entonces:
\[ \frac{8^2\cdot 4}{2}=\frac{2^6\cdot 2^2}{2^1}=2^7. \]
Por lo tanto:
\[ \log_2(2^7)=7. \]
Ejercicio 13: problema de aplicación
Usa la fórmula de cantidad de dígitos para determinar cuántos dígitos tiene \(54321\).
Como:
\[ 10000<54321<100000, \]
se cumple:
\[ 4<\log(54321)<5. \]
Entonces \(\lfloor \log(54321)\rfloor=4\), y el número tiene \(4+1=5\) dígitos.