Libro de las Funciones cuadraticas
3. Preimagen y ecuaciones del tipo f(x)=k
Objetivos
- Encontrar preimágenes resolviendo ecuaciones de la forma \(f(x)=k\).
- Distinguir entre evaluar una función y buscar una preimagen.
- Reconocer que los ceros son el caso especial \(f(x)=0\).
Evaluar y buscar preimagen no es lo mismo
Cuando evaluamos, conocemos \(x\) y buscamos \(f(x)\). Cuando buscamos una preimagen, conocemos el valor de salida y buscamos qué valores de \(x\) lo producen.
Idea central
Si se pide la preimagen de \(k\), se resuelve:
\[ f(x)=k. \]
Si \(k=0\), entonces estamos buscando los ceros de la función.
Puente importante
En una función cuadrática puede haber dos preimágenes, una sola o ninguna preimagen real para un mismo valor. Esto ocurre por la forma de la parábola.
Ejemplo 1: preimagen de cero
Sea \(f(x)=x^2-5x+6\). Busquemos la preimagen de \(0\):
\[ x^2-5x+6=0. \]
Factorizamos:
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Entonces \(x=2\) o \(x=3\). La preimagen de \(0\) es \(\{2,3\}\).
Ejemplo 2: preimagen de un valor distinto de cero
Sea \(g(x)=x^2-4x+1\). Busquemos los valores de \(x\) tales que \(g(x)=1\):
\[ x^2-4x+1=1. \]
Restamos \(1\):
\[ x^2-4x=0. \]
\[ x(x-4)=0. \]
Entonces \(x=0\) o \(x=4\).
Ejercicio 1
Para \(f(x)=x^2-4\), encuentra la preimagen de \(0\).
Resolvemos \(x^2-4=0\):
\[ (x-2)(x+2)=0. \]
La preimagen de \(0\) es \(\{-2,2\}\).
Ejercicio 2
Para \(g(x)=x^2+1\), encuentra la preimagen de \(5\).
Resolvemos:
\[ x^2+1=5 \Rightarrow x^2=4. \]
Entonces \(x=-2\) o \(x=2\). La preimagen es \(\{-2,2\}\).
Ejercicio 3
Para \(h(x)=x^2+3\), ¿existe preimagen real de \(1\)?
Resolvemos \(x^2+3=1\), es decir:
\[ x^2=-2. \]
No existe solución real, porque el cuadrado de un número real no puede ser negativo.
Ejercicio 4
Explica la diferencia entre calcular \(f(2)\) y resolver \(f(x)=2\).
Calcular \(f(2)\) significa que ya conocemos la entrada \(x=2\). Resolver \(f(x)=2\) significa buscar todas las entradas cuya imagen sea \(2\).
Ejercicio 5
Para \(p(x)=x^2-6x+9\), encuentra la preimagen de \(0\).
\[ x^2-6x+9=0 \Rightarrow (x-3)^2=0. \]
La única preimagen de \(0\) es \(x=3\).
Ejercicio 6
Para \(q(x)=-x^2+4\), encuentra los valores de \(x\) tales que \(q(x)=3\).
\[ -x^2+4=3 \Rightarrow -x^2=-1 \Rightarrow x^2=1. \]
Entonces \(x=-1\) o \(x=1\).