Libro de las Funciones cuadraticas
5. Concavidad y corte con el eje y
Objetivos
- Determinar la concavidad de una parábola a partir del coeficiente \(a\).
- Reconocer el corte con el eje \(y\) a partir del coeficiente \(c\).
- Interpretar ambos datos como una lectura rápida de la función.
Lectura rápida
En la función \(f(x)=ax^2+bx+c\):
- Si \(a>0\), la parábola se abre hacia arriba.
- Si \(a<0\), la parábola se abre hacia abajo.
- El corte con el eje \(y\) es \((0,c)\).
Por qué el corte con \(y\) es \((0,c)\)
En el eje \(y\), siempre se cumple \(x=0\). Entonces:
\[ f(0)=a(0)^2+b(0)+c=c. \]
Comparación visual
Error común
El coeficiente \(c\) no indica el vértice en general. Solo indica dónde la parábola corta el eje \(y\).
Ejemplo 1: lectura de \(a\) y \(c\)
En \(f(x)=2x^2-3x+5\), se tiene \(a=2\) y \(c=5\).
Como \(a>0\), la parábola se abre hacia arriba. Además, corta el eje \(y\) en \((0,5)\).
Ejemplo 2: parábola hacia abajo
En \(g(x)=-x^2+4x-1\), se tiene \(a=-1\) y \(c=-1\).
Como \(a<0\), la parábola se abre hacia abajo. Corta el eje \(y\) en \((0,-1)\).
Ejercicio 1
Para \(f(x)=3x^2+x-2\), indica concavidad y corte con \(y\).
\(a=3>0\), entonces se abre hacia arriba. Como \(c=-2\), corta el eje \(y\) en \((0,-2)\).
Ejercicio 2
Para \(g(x)=-4x^2+7x+1\), indica concavidad y corte con \(y\).
\(a=-4<0\), entonces se abre hacia abajo. Como \(c=1\), corta el eje \(y\) en \((0,1)\).
Ejercicio 3
Escribe una función cuadrática que se abra hacia abajo y corte el eje \(y\) en \((0,6)\).
Una posibilidad es:
\[ f(x)=-x^2+6. \]
Aquí \(a=-1<0\) y \(c=6\).
Ejercicio 4
Si una función cuadrática corta el eje \(y\) en \((0,-3)\), ¿qué valor tiene \(c\)?
El valor es \(c=-3\), porque el corte con el eje \(y\) es \((0,c)\).
Ejercicio 5
¿Puede una función con \(a=0\) ser cuadrática? Explica.
No. Si \(a=0\), desaparece el término cuadrático y la función ya no tiene grado \(2\).
Ejercicio 6
Compara \(f(x)=x^2+4\) y \(g(x)=-x^2+4\). ¿Qué tienen en común y en qué difieren?
Ambas cortan el eje \(y\) en \((0,4)\). Difieren en la concavidad: \(f\) se abre hacia arriba y \(g\) hacia abajo.