Libro de las Funciones cuadraticas
7. Eje de simetría de la parábola
Objetivos
- Determinar el eje de simetría de una parábola.
- Relacionar el eje de simetría con el vértice.
- Usar la simetría para comparar valores de una función cuadrática.
Qué es el eje de simetría
El eje de simetría es una recta vertical que divide la parábola en dos partes reflejadas. Siempre pasa por el vértice.
Fórmula
Para \(f(x)=ax^2+bx+c\), el eje de simetría es:
\[ x=\frac{-b}{2a}. \]
Es la misma coordenada \(x\) del vértice.
Simetría visual
Ejemplo 1: encontrar el eje
Para \(f(x)=x^2-4x+3\):
\[ x=\frac{-(-4)}{2(1)}=2. \]
El eje de simetría es \(x=2\).
Ejemplo 2: usar simetría
Si el eje de simetría es \(x=2\), entonces \(x=1\) y \(x=3\) están a la misma distancia del eje.
Por eso, en una misma parábola:
\[ f(1)=f(3). \]
Ejercicio 1
Determina el eje de simetría de \(f(x)=x^2-8x+1\).
\[ x=\frac{-(-8)}{2(1)}=4. \]
El eje es \(x=4\).
Ejercicio 2
Determina el eje de simetría de \(g(x)=-2x^2+12x-5\).
\[ x=\frac{-12}{2(-2)}=3. \]
El eje es \(x=3\).
Ejercicio 3
Si el eje de simetría es \(x=5\), ¿qué valor está simétrico a \(x=2\)?
La distancia de \(2\) a \(5\) es \(3\). Al otro lado está \(5+3=8\). El valor simétrico es \(x=8\).
Ejercicio 4
Para \(p(x)=x^2-6x+2\), verifica que \(p(2)=p(4)\).
El eje es \(x=3\). Los valores \(2\) y \(4\) están a distancia \(1\) del eje.
\[ p(2)=4-12+2=-6,\qquad p(4)=16-24+2=-6. \]
Ejercicio 5
¿El eje de simetría puede ser una recta horizontal? Justifica en este curso.
Para las funciones cuadráticas estudiadas aquí, la parábola tiene eje de simetría vertical, de la forma \(x=k\).
Ejercicio 6
Explica la relación entre vértice y eje de simetría.
El eje de simetría siempre pasa por el vértice. Si el vértice es \((h,k)\), entonces el eje de simetría es \(x=h\).