Libro de las Funciones cuadraticas
8. Máximo o mínimo de una función cuadrática
Objetivos
- Distinguir cuándo una función cuadrática tiene máximo o mínimo.
- Interpretar el valor extremo usando el vértice.
- Diferenciar entre punto extremo y valor máximo o mínimo.
Regla
- Si \(a>0\), la función tiene un mínimo.
- Si \(a<0\), la función tiene un máximo.
El valor máximo o mínimo corresponde a la coordenada \(y\) del vértice.
Punto extremo y valor extremo
Si el vértice es \((2,-1)\), el punto mínimo es \((2,-1)\), pero el valor mínimo de la función es \(-1\).
Comparación visual
Ejemplo 1: mínimo
Para \(f(x)=x^2-4x+3\), el vértice es \((2,-1)\) y \(a=1>0\).
Por lo tanto, la función tiene un mínimo. El valor mínimo es \(-1\).
Ejemplo 2: máximo
Para \(g(x)=-x^2+4x+3\), el vértice es \((2,7)\) y \(a=-1<0\).
Por lo tanto, la función tiene un máximo. El valor máximo es \(7\).
Ejercicio 1
La función \(f(x)=x^2-6x+5\) tiene vértice \((3,-4)\). ¿Tiene máximo o mínimo?
Como \(a=1>0\), tiene mínimo. El valor mínimo es \(-4\).
Ejercicio 2
La función \(g(x)=-2x^2+8x+1\) tiene vértice \((2,9)\). ¿Tiene máximo o mínimo?
Como \(a=-2<0\), tiene máximo. El valor máximo es \(9\).
Ejercicio 3
Encuentra el valor mínimo de \(p(x)=x^2-2x+5\).
\[ x_v=\frac{-(-2)}{2}=1. \]
\[ p(1)=1-2+5=4. \]
El valor mínimo es \(4\).
Ejercicio 4
Encuentra el valor máximo de \(q(x)=-x^2+6x-2\).
\[ x_v=\frac{-6}{2(-1)}=3. \]
\[ q(3)=-9+18-2=7. \]
El valor máximo es \(7\).
Ejercicio 5
Si una parábola se abre hacia abajo, ¿puede tener mínimo? Explica.
No tiene mínimo en todo \(\mathbb{R}\), porque sus ramas bajan indefinidamente. Sí tiene máximo en el vértice.
Ejercicio 6
En un problema de altura \(h(t)=-t^2+4t+1\), ¿qué representa el máximo?
Representa la mayor altura que alcanza el objeto. Como \(a<0\), la parábola se abre hacia abajo y su vértice da el máximo.