Libro de las Funciones cuadraticas
10. Ceros, raíces e intersecciones con el eje x
Objetivos
- Comprender los ceros de una función cuadrática como soluciones de \(f(x)=0\).
- Relacionar ceros, raíces e intersecciones con el eje \(x\).
- Interpretar el discriminante como información gráfica.
El puente con ecuación cuadrática
En el libro de ecuación cuadrática se resolvían ecuaciones como:
\[ ax^2+bx+c=0. \]
Ahora esa misma igualdad aparece como una pregunta sobre la función:
\[ f(x)=0. \]
Idea central
Para una función cuadrática:
\[ \text{ceros de la función} = \text{soluciones de } f(x)=0 = \text{cortes con el eje }x. \]
Tres posibilidades
Discriminante como lectura gráfica
- Si \(\Delta>0\), hay dos cortes con el eje \(x\).
- Si \(\Delta=0\), hay un corte: la parábola toca el eje \(x\) en el vértice.
- Si \(\Delta<0\), no hay cortes reales con el eje \(x\).
Ejemplo 1: dos ceros
Sea \(f(x)=x^2-5x+6\). Para encontrar los ceros:
\[ f(x)=0 \Rightarrow x^2-5x+6=0. \]
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Los ceros son \(x=2\) y \(x=3\), por lo tanto la parábola corta el eje \(x\) en \((2,0)\) y \((3,0)\).
Ejemplo 2: un cero
Sea \(g(x)=x^2-4x+4\). Entonces:
\[ x^2-4x+4=0 \Rightarrow (x-2)^2=0. \]
El único cero es \(x=2\). La parábola toca el eje \(x\) en \((2,0)\).
Ejercicio 1
Si los ceros de una función son \(x=-1\) y \(x=4\), escribe los puntos de corte con el eje \(x\).
Los puntos son \((-1,0)\) y \((4,0)\), porque en el eje \(x\) la coordenada \(y\) vale \(0\).
Ejercicio 2
Encuentra los ceros de \(f(x)=x^2-9\) e interprétalos gráficamente.
\[ x^2-9=0 \Rightarrow (x-3)(x+3)=0. \]
Los ceros son \(x=-3\) y \(x=3\). La parábola corta el eje \(x\) en \((-3,0)\) y \((3,0)\).
Ejercicio 3
Si \(\Delta=0\), ¿qué ocurre con la parábola y el eje \(x\)?
La parábola toca el eje \(x\) en un solo punto. Ese punto corresponde al vértice y a un cero doble.
Ejercicio 4
Si una parábola no corta el eje \(x\), ¿cuántas soluciones reales tiene \(f(x)=0\)?
No tiene soluciones reales, porque no existe ningún valor de \(x\) para el cual \(f(x)=0\).
Ejercicio 5
Explica por qué los ceros también pueden llamarse raíces.
Porque son las soluciones de la ecuación \(f(x)=0\). En una ecuación cuadrática, esas soluciones suelen llamarse raíces.
Ejercicio 6
Para \(p(x)=x^2+2x+5\), calcula \(\Delta\) y anticipa si hay cortes con el eje \(x\).
Aquí \(a=1\), \(b=2\), \(c=5\).
\[ \Delta=b^2-4ac=2^2-4(1)(5)=4-20=-16. \]
Como \(\Delta<0\), no hay cortes reales con el eje \(x\).