Libro de las Funciones cuadraticas
12. Ceros por productos notables y trinomios
Objetivos
- Determinar ceros mediante productos notables y trinomios factorizables.
- Reconocer ceros dobles y ceros distintos.
- Interpretar la factorización como información gráfica.
Productos notables útiles
\[ x^2-2ax+a^2=(x-a)^2 \]
\[ x^2-a^2=(x-a)(x+a) \]
Lectura desde la forma factorizada
Si una función se escribe como \(f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)\), entonces sus ceros son \(r_1\) y \(r_2\).
Ejemplo 1: cuadrado perfecto
Sea \(f(x)=x^2-6x+9\). Buscamos los ceros:
\[ x^2-6x+9=0 \Rightarrow (x-3)^2=0. \]
El único cero es \(x=3\). Es un cero doble.
Ejemplo 2: trinomio factorizable
Sea \(g(x)=x^2-5x+6\). Buscamos dos números que sumen \(-5\) y multipliquen \(6\): \(-2\) y \(-3\).
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Los ceros son \(x=2\) y \(x=3\).
Error común
En un trinomio \(x^2+bx+c\), los números buscados deben cumplir dos condiciones al mismo tiempo: sumar \(b\) y multiplicar \(c\).
Ejercicio 1
Encuentra los ceros de \(f(x)=x^2-16\).
\[ x^2-16=(x-4)(x+4). \]
Los ceros son \(x=4\) y \(x=-4\).
Ejercicio 2
Encuentra los ceros de \(g(x)=x^2+8x+16\).
\[ x^2+8x+16=(x+4)^2. \]
El único cero es \(x=-4\), con multiplicidad doble.
Ejercicio 3
Encuentra los ceros de \(h(x)=x^2+x-12\).
Buscamos dos números que sumen \(1\) y multipliquen \(-12\): \(4\) y \(-3\).
\[ x^2+x-12=(x+4)(x-3). \]
Los ceros son \(x=-4\) y \(x=3\).
Ejercicio 4
Si \(f(x)=(x-2)(x+5)\), indica sus ceros sin desarrollar.
Por producto nulo, \(x-2=0\) o \(x+5=0\). Los ceros son \(x=2\) y \(x=-5\).
Ejercicio 5
¿Qué significa gráficamente que una función tenga un cero doble?
Significa que la parábola toca el eje \(x\) en un solo punto, sin cruzarlo. Ese punto corresponde al vértice.
Ejercicio 6
Crea una función cuadrática con ceros \(-1\) y \(6\).
Una opción es:
\[ f(x)=(x+1)(x-6). \]
Si se desarrolla, \(f(x)=x^2-5x-6\).