Libro de las Funciones cuadraticas
17. Problemas contextualizados con funciones cuadráticas
Objetivos
- Interpretar funciones cuadráticas en situaciones reales.
- Asociar evaluación, vértice, ceros y signo con preguntas de contexto.
- Responder con unidades y sentido según la situación.
Funciones cuadráticas en contexto
Las funciones cuadráticas aparecen en trayectorias, áreas, ganancias, costos y situaciones donde una cantidad crece y luego disminuye, o al revés.
Traducir la pregunta
| Pregunta contextual | Lectura matemática |
|---|---|
| ¿Cuánto mide en cierto instante? | Evaluar \(f(x)\) |
| ¿Cuándo llega al suelo? | Resolver \(f(x)=0\) |
| ¿Cuál es el máximo? | Vértice |
| ¿Cuándo hay ganancia? | Signo de la función |
Modelo de altura
Ejemplo 1: altura máxima
La altura de una pelota está dada por \(h(t)=-t^2+4t+1\). Como \(a<0\), tiene máximo.
\[ t_v=\frac{-4}{2(-1)}=2. \]
\[ h(2)=-4+8+1=5. \]
La altura máxima es \(5\) metros y ocurre a los \(2\) segundos.
Ejemplo 2: ganancia positiva
Una ganancia está dada por \(G(x)=-x^2+7x-10\). Buscamos cuándo \(G(x)>0\).
Primero encontramos los ceros:
\[ -x^2+7x-10=0 \Rightarrow x^2-7x+10=0. \]
\[ (x-2)(x-5)=0. \]
Como la parábola se abre hacia abajo, hay ganancia positiva si \(2<x<5\).
Ejercicio 1
La altura de un objeto es \(h(t)=-t^2+6t\). ¿En qué instante alcanza su altura máxima?
\[ t_v=\frac{-6}{2(-1)}=3. \]
Alcanza su altura máxima a los \(3\) segundos.
Ejercicio 2
Para \(h(t)=-t^2+6t\), ¿cuál es la altura máxima?
\[ h(3)=-9+18=9. \]
La altura máxima es \(9\) unidades.
Ejercicio 3
Un área se modela por \(A(x)=-x^2+10x\). ¿Para qué valores de \(x\) el área es positiva?
\[ -x^2+10x=-x(x-10). \]
Los ceros son \(0\) y \(10\). Como se abre hacia abajo, \(A(x)>0\) si \(0<x<10\).
Ejercicio 4
Una ganancia \(G(x)=x^2-8x+12\) se interpreta como pérdida si es negativa. ¿Entre qué valores hay pérdida?
\[ x^2-8x+12=(x-2)(x-6). \]
Como se abre hacia arriba, \(G(x)<0\) si \(2<x<6\).
Ejercicio 5
Si \(C(x)=2x^2+5\) representa un costo, ¿cuál es su costo mínimo?
El vértice ocurre en \(x=0\), porque no hay término lineal. Entonces \(C(0)=5\). El costo mínimo es \(5\) unidades monetarias.
Ejercicio 6
Explica por qué en un problema contextualizado no basta con entregar solo el número.
Porque el resultado debe responder a la situación: hay que indicar unidades, interpretar si es tiempo, altura, ganancia, área u otra magnitud, y descartar valores sin sentido contextual si aparecen.