Libro de las Funciones cuadraticas
19. Profundización: forma canónica y técnicas adicionales
Objetivos
- Reconocer la forma canónica de una función cuadrática.
- Usar completación de cuadrados para leer el vértice.
- Aplicar técnicas adicionales solo cuando aporten información funcional.
Por qué profundizar
Algunas técnicas algebraicas no se estudian solo para resolver ecuaciones. En funciones cuadráticas, ayudan a leer la gráfica con mayor rapidez.
Forma canónica
Una función cuadrática puede escribirse como:
\[ f(x)=a(x-h)^2+k. \]
En esta forma, el vértice se lee directamente:
\[ (h,k). \]
Forma canónica en la gráfica
Ejemplo 1: leer desde la forma canónica
Sea:
\[ f(x)=2(x-3)^2+5. \]
El vértice es \((3,5)\). Como \(a=2>0\), la función tiene mínimo \(5\) y recorrido \([5,\infty)\).
Ejemplo 2: completar cuadrados para encontrar el vértice
Consideremos \(g(x)=x^2-6x+5\).
Completamos cuadrado:
\[ x^2-6x+5=(x^2-6x+9)-9+5=(x-3)^2-4. \]
Entonces el vértice es \((3,-4)\).
Uso razonable
No siempre conviene completar cuadrados. Si solo se pide evaluar \(f(2)\), basta sustituir. Si se pide vértice, recorrido o forma canónica, completar cuadrados puede ser muy útil.
Ejercicio 1
Lee el vértice de \(f(x)=(x-4)^2+2\).
El vértice es \((4,2)\).
Ejercicio 2
Lee el vértice y el tipo de extremo de \(g(x)=-(x+1)^2+6\).
El vértice es \((-1,6)\). Como \(a=-1<0\), corresponde a un máximo.
Ejercicio 3
Escribe \(x^2-4x+1\) en forma canónica.
\[ x^2-4x+1=(x^2-4x+4)-4+1=(x-2)^2-3. \]
Ejercicio 4
A partir de \(f(x)=(x-2)^2-3\), indica recorrido y eje de simetría.
El vértice es \((2,-3)\) y se abre hacia arriba. El recorrido es \([-3,\infty)\) y el eje es \(x=2\).
Ejercicio 5
¿Qué información se lee más rápido en \(a(x-h)^2+k\) que en \(ax^2+bx+c\)?
Se lee más rápido el vértice \((h,k)\), el eje de simetría \(x=h\), el valor máximo o mínimo y el recorrido.
Ejercicio 6
Explica por qué esta página es una profundización y no el punto de partida del libro.
Porque requiere manejar previamente evaluación, vértice, recorrido y ceros. La forma canónica organiza mejor ideas que ya fueron estudiadas.