Libro Decimales racionales
10. Ejercicios Combinados con Potencias de Base Decimal
Ejercicios de cálculo directo
Indicaciones
Resuelve las operaciones aplicando las propiedades de las potencias. Recuerda trabajar con cuidado los signos, los exponentes negativos y los paréntesis.
Ejercicio 1: cálculo directo
Calcula el resultado de las siguientes expresiones:
- \((0{,}5)^2\cdot(0{,}5)^{-3}\cdot(0{,}5)^4\)
- \(\left((1{,}2)^2\right)^3\div(1{,}2)^4\)
- \((0{,}8)^{-2}\cdot(0{,}8)^5\div(0{,}8)^3\)
- \((0{,}3)^3\cdot(0{,}2)^3\cdot(0{,}6)^{-2}\)
- \(\left((-0{,}4)^2\right)^3\div(-0{,}4)^5\)
- \((2{,}5)^{-1}\cdot(2{,}5)^4\div(2{,}5)^2\)
- \((1{,}1)^3\cdot(0{,}9)^3\div(0{,}99)^2\)
-
Como las potencias tienen la misma base, sumamos los exponentes:
\[ (0{,}5)^2\cdot(0{,}5)^{-3}\cdot(0{,}5)^4 = (0{,}5)^{2-3+4} = (0{,}5)^3 \]
\[ (0{,}5)^3=0{,}125 \]
-
Primero aplicamos potencia de una potencia:
\[ \left((1{,}2)^2\right)^3=(1{,}2)^{2\cdot 3}=(1{,}2)^6 \]
Luego dividimos potencias de igual base:
\[ (1{,}2)^6\div(1{,}2)^4=(1{,}2)^{6-4}=(1{,}2)^2=1{,}44 \]
-
Como todas las potencias tienen la misma base, operamos los exponentes:
\[ (0{,}8)^{-2}\cdot(0{,}8)^5\div(0{,}8)^3 = (0{,}8)^{-2+5-3} = (0{,}8)^0 \]
Como \(0{,}8\neq 0\), entonces:
\[ (0{,}8)^0=1 \]
-
Las dos primeras potencias tienen el mismo exponente:
\[ (0{,}3)^3\cdot(0{,}2)^3=(0{,}3\cdot0{,}2)^3=(0{,}06)^3 \]
Además:
\[ (0{,}6)^{-2}=\frac{1}{(0{,}6)^2} \]
Entonces:
\[ (0{,}06)^3\cdot\frac{1}{(0{,}6)^2} = 0{,}000216\cdot\frac{1}{0{,}36} = 0{,}0006 \]
-
Aplicamos potencia de una potencia:
\[ \left((-0{,}4)^2\right)^3=(-0{,}4)^{2\cdot3}=(-0{,}4)^6 \]
Luego dividimos potencias de igual base:
\[ (-0{,}4)^6\div(-0{,}4)^5=(-0{,}4)^{6-5}=(-0{,}4)^1=-0{,}4 \]
-
Como las potencias tienen igual base, operamos los exponentes:
\[ (2{,}5)^{-1}\cdot(2{,}5)^4\div(2{,}5)^2 = (2{,}5)^{-1+4-2} = (2{,}5)^1 \]
\[ (2{,}5)^1=2{,}5 \]
-
Las dos primeras potencias tienen igual exponente:
\[ (1{,}1)^3\cdot(0{,}9)^3=(1{,}1\cdot0{,}9)^3=(0{,}99)^3 \]
Luego dividimos potencias de igual base:
\[ (0{,}99)^3\div(0{,}99)^2=(0{,}99)^{3-2}=0{,}99 \]
Ejercicios de incógnitas
Indicaciones
En esta sección debes encontrar el valor entero de \(x\) que satisface cada igualdad.
Ejercicio 2: encontrar el valor de \(x\)
Encuentra el valor de \(x\):
- \((0{,}6)^x\cdot(0{,}6)^3=(0{,}6)^5\)
- \((1{,}2)^4\div(1{,}2)^x=(1{,}2)^2\)
- \(\left((0{,}3)^x\right)^2=(0{,}3)^6\)
- \((0{,}8)^5\div(0{,}8)^x=(0{,}8)^3\)
- \((0{,}2)^x\cdot(0{,}2)^4=(0{,}2)^2\)
- \((1{,}4)^x\div(1{,}4)^{-2}=(1{,}4)^3\)
- \((0{,}5)^x\cdot(0{,}2)^x=(0{,}1)^4\)
-
Producto de potencias de igual base:
\[ (0{,}6)^x\cdot(0{,}6)^3=(0{,}6)^{x+3} \]
Entonces:
\[ x+3=5 \]
\[ x=2 \]
-
Cociente de potencias de igual base:
\[ (1{,}2)^4\div(1{,}2)^x=(1{,}2)^{4-x} \]
Entonces:
\[ 4-x=2 \]
\[ x=2 \]
-
Potencia de una potencia:
\[ \left((0{,}3)^x\right)^2=(0{,}3)^{2x} \]
Entonces:
\[ 2x=6 \]
\[ x=3 \]
-
Cociente de potencias de igual base:
\[ (0{,}8)^5\div(0{,}8)^x=(0{,}8)^{5-x} \]
Entonces:
\[ 5-x=3 \]
\[ x=2 \]
-
Producto de potencias de igual base:
\[ (0{,}2)^x\cdot(0{,}2)^4=(0{,}2)^{x+4} \]
Entonces:
\[ x+4=2 \]
\[ x=-2 \]
-
Cociente de potencias de igual base:
\[ (1{,}4)^x\div(1{,}4)^{-2}=(1{,}4)^{x-(-2)}=(1{,}4)^{x+2} \]
Entonces:
\[ x+2=3 \]
\[ x=1 \]
-
Producto de potencias de igual exponente:
\[ (0{,}5)^x\cdot(0{,}2)^x=(0{,}5\cdot0{,}2)^x=(0{,}1)^x \]
Entonces:
\[ (0{,}1)^x=(0{,}1)^4 \]
Por lo tanto:
\[ x=4 \]
Problemas de aplicación
Indicaciones
Resuelve los siguientes problemas aplicando propiedades de potencias y justificando el procedimiento.
Ejercicio 3: problemas de aplicación
- El área de un cuadrado es \((0{,}7)^4\) metros cuadrados. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado?
- Un cubo tiene un volumen de \((1{,}2)^6\) metros cúbicos. ¿Cuánto mide la arista del cubo?
- Si un cultivo de bacterias se duplica cada hora y al inicio hay \((0{,}2)^3\) millones de bacterias, ¿cuántas habrá después de \(4\) horas?
- El precio de un artículo se reduce a la mitad cada año. Si inicialmente costaba \(100\) dólares y el precio actual cumple \(100\cdot(0{,}5)^x=12{,}5\), ¿cuántos años han pasado?
-
El área de un cuadrado se calcula como:
\[ A=L^2 \]
Si \(A=(0{,}7)^4\), entonces:
\[ L=\sqrt{(0{,}7)^4} \]
Como la raíz cuadrada y el exponente \(2\) se relacionan directamente:
\[ L=(0{,}7)^2=0{,}49 \]
El lado del cuadrado mide \(0{,}49\) metros.
-
El volumen de un cubo se calcula como:
\[ V=a^3 \]
Si \(V=(1{,}2)^6\), entonces la arista es:
\[ a=\sqrt[3]{(1{,}2)^6} \]
Como \(6\div3=2\), se obtiene:
\[ a=(1{,}2)^2=1{,}44 \]
La arista del cubo mide \(1{,}44\) metros.
-
Si el cultivo se duplica cada hora, después de \(4\) horas se multiplica por \(2^4\).
La cantidad inicial es:
\[ (0{,}2)^3=0{,}008 \]
Entonces:
\[ 0{,}008\cdot2^4=0{,}008\cdot16=0{,}128 \]
Después de \(4\) horas habrá \(0{,}128\) millones de bacterias.
-
Partimos de la ecuación:
\[ 100\cdot(0{,}5)^x=12{,}5 \]
Dividimos ambos lados por \(100\):
\[ (0{,}5)^x=0{,}125 \]
Escribimos \(0{,}125\) como potencia de \(0{,}5\):
\[ 0{,}125=(0{,}5)^3 \]
Entonces:
\[ (0{,}5)^x=(0{,}5)^3 \]
Por lo tanto:
\[ x=3 \]
Han pasado \(3\) años.