Los datos estan dispersos?

8. Coeficiente de Variación (CV)

¿Por qué necesitamos otra medida de dispersión?

Dispersión absoluta y dispersión relativa

Hemos visto que la desviación estándar mide la dispersión absoluta de los datos alrededor de la media.

Sin embargo, cuando queremos comparar la variabilidad entre conjuntos de datos que tienen unidades diferentes o medias muy distintas, la desviación estándar por sí sola no siempre es suficiente. En esos casos usamos el coeficiente de variación $CV$.

Definición y Fórmula

Coeficiente de variación

El coeficiente de variación $CV$ es una medida de dispersión relativa. Expresa la desviación estándar como un porcentaje de la media.

Fórmula para una muestra:

\[ CV=\frac{s}{|\bar{x}|}\cdot 100\% \]

Fórmula para una población:

\[ CV=\frac{\sigma}{|\mu|}\cdot 100\% \]

$CV$: coeficiente de variación.
$s$: desviación estándar muestral.
$\bar{x}$: media muestral, con $\bar{x}\neq 0$.
$\sigma$: desviación estándar poblacional.
$\mu$: media poblacional, con $\mu\neq 0$.

Importante

La media debe ser distinta de cero para que el coeficiente de variación tenga sentido. No se puede dividir por cero.

Cuando la media es negativa, se usa su valor absoluto para que el $CV$ represente una proporción positiva de variabilidad.

Interpretación

¿Cómo se interpreta el CV?

Sin unidades: el $CV$ no tiene unidad de medida, porque las unidades de la desviación estándar y de la media se cancelan.
Dispersión relativa: indica qué tan grande es la desviación estándar en relación con la media.
Valores altos y bajos: un $CV$ más alto indica mayor dispersión relativa; un $CV$ más bajo indica menor dispersión relativa.
Interpretación contextual: no existe un valor universal para decir que un $CV$ es bueno o malo. Depende del contexto del problema.

Lectura rápida

Un $CV$ de $20\%$ significa que la desviación estándar equivale al $20\%$ de la media.

Ejemplos

Ejemplo 1: comparación con diferentes unidades

Queremos comparar la variabilidad de la altura, en centímetros, y el peso, en kilogramos, de un grupo de personas:

Alturas: media $=170$ cm, desviación estándar $=10$ cm.
Pesos: media $=70$ kg, desviación estándar $=14$ kg.

No podemos comparar directamente $10$ cm con $14$ kg, porque corresponden a unidades distintas. Calculamos el coeficiente de variación.

Alturas:

\[ CV=\frac{10}{170}\cdot 100\%\approx 5{,}88\% \]

Pesos:

\[ CV=\frac{14}{70}\cdot 100\%=20\% \]

Conclusión: el peso tiene mayor variabilidad relativa que la altura en este grupo.

Ejemplo 2: comparación con medias muy diferentes

Queremos comparar la variabilidad de los ingresos en dos grupos:

Grupo A: media $=\$500$, desviación estándar $=\$100$.
Grupo B: media $=\$5000$, desviación estándar $=\$500$.

Aunque la desviación estándar del grupo B es mayor en términos absolutos, debemos comparar la variabilidad relativa.

Grupo A:

\[ CV=\frac{100}{500}\cdot 100\%=20\% \]

Grupo B:

\[ CV=\frac{500}{5000}\cdot 100\%=10\% \]

Conclusión: los ingresos del grupo A tienen mayor variabilidad relativa que los del grupo B.

Ejercicios

Ejercicio 1: cálculo directo del CV

Calcula el coeficiente de variación para los siguientes conjuntos de datos:

Media $=60$, desviación estándar $=9$.
Media $=15$, desviación estándar $=3$.
Media $=1200$, desviación estándar $=60$.

Ejercicio 2: duración de bombillas

Un investigador compara la variabilidad en la duración de dos tipos de bombillas.

Bombilla A: duración promedio $=800$ horas, desviación estándar $=80$ horas.
Bombilla B: duración promedio $=1200$ horas, desviación estándar $=100$ horas.

¿Qué tipo de bombilla tiene mayor variabilidad relativa en su duración?

Ejercicio 3: interpretación del coeficiente de variación

Explica con tus propias palabras por qué el coeficiente de variación es útil para comparar la dispersión de conjuntos de datos que tienen diferentes unidades de medida.