Los datos estan dispersos?
9. Coeficiente de Variación con Datos en Tablas
Coeficiente de Variación (CV) con Datos en Tablas
Repaso: Coeficiente de Variación
El coeficiente de variación (CV) es una medida de dispersión relativa. Expresa la desviación estándar como un porcentaje de la media. Es útil para comparar la variabilidad entre conjuntos de datos con diferentes unidades o medias.
Fórmula
Para una muestra:
\[ CV=\frac{s}{\bar{x}}\cdot 100\% \]
Para una población:
\[ CV=\frac{\sigma}{\mu}\cdot 100\% \]
CV con Datos en Tablas
Cuando los datos están en tablas de frecuencias simples o con intervalos, calculamos la media \(\bar{x}\) y la desviación estándar \(s\), y luego aplicamos la fórmula del coeficiente de variación.
Ejemplo 1: Tabla de Frecuencias Simple
Datos: Número de hermanos de un grupo de estudiantes:
| Número de hermanos | Frecuencia \(f\) |
|---|---|
| \(0\) | \(6\) |
| \(1\) | \(12\) |
| \(2\) | \(7\) |
| \(3\) | \(3\) |
| Total | \(28\) |
Paso 1: Calcular la media.
\[ \bar{x}=\frac{(0\cdot 6)+(1\cdot 12)+(2\cdot 7)+(3\cdot 3)}{28} \]
\[ \bar{x}=\frac{0+12+14+9}{28}=\frac{35}{28}=1{,}25 \]
Paso 2: Calcular la desviación estándar.
Para este ejemplo, considerando desviación estándar muestral, se tiene:
\[ s^2=\frac{6(0-1{,}25)^2+12(1-1{,}25)^2+7(2-1{,}25)^2+3(3-1{,}25)^2}{28-1} \]
\[ s^2=\frac{23{,}25}{27}\approx 0{,}8611 \]
\[ s=\sqrt{0{,}8611}\approx 0{,}93 \]
Paso 3: Calcular el coeficiente de variación.
\[ CV=\frac{s}{\bar{x}}\cdot 100\%=\frac{0{,}93}{1{,}25}\cdot 100\%\approx 74{,}4\% \]
Interpretación: La desviación estándar del número de hermanos es aproximadamente el \(74{,}4\%\) de la media. Esto indica una variabilidad relativa alta.
Ejemplo 2: Tabla de Frecuencias con Intervalos
Datos: Tiempos de espera, en minutos, en una fila:
| Tiempo (min) | Frecuencia \(f\) |
|---|---|
| \(0-4\) | \(8\) |
| \(5-9\) | \(14\) |
| \(10-14\) | \(10\) |
| \(15-19\) | \(6\) |
| \(20-24\) | \(2\) |
| Total | \(40\) |
Para trabajar con intervalos, usamos la marca de clase de cada intervalo:
| Intervalo | Marca de clase \(x_i\) | Frecuencia \(f_i\) |
|---|---|---|
| \(0-4\) | \(2\) | \(8\) |
| \(5-9\) | \(7\) | \(14\) |
| \(10-14\) | \(12\) | \(10\) |
| \(15-19\) | \(17\) | \(6\) |
| \(20-24\) | \(22\) | \(2\) |
La media es:
\[ \bar{x}=\frac{(2\cdot 8)+(7\cdot 14)+(12\cdot 10)+(17\cdot 6)+(22\cdot 2)}{40} \]
\[ \bar{x}=\frac{16+98+120+102+44}{40}=\frac{380}{40}=9{,}5 \]
La desviación estándar muestral es aproximadamente:
\[ s\approx 5{,}66 \]
Entonces, el coeficiente de variación es:
\[ CV=\frac{5{,}66}{9{,}5}\cdot 100\%\approx 59{,}58\% \]
Interpretación: La desviación estándar del tiempo de espera es aproximadamente el \(59{,}58\%\) de la media. Hay una variabilidad relativa considerable.
Ejercicios
Ejercicio 1
La siguiente tabla muestra la distribución de puntajes en una prueba:
| Puntaje | Frecuencia |
|---|---|
| \(50-59\) | \(5\) |
| \(60-69\) | \(10\) |
| \(70-79\) | \(15\) |
| \(80-89\) | \(12\) |
| \(90-99\) | \(8\) |
- Calcula la media y la desviación estándar muestral de los puntajes.
- Calcula el coeficiente de variación.
- Interpreta el resultado del CV.
Usamos la marca de clase de cada intervalo.
| Intervalo | \(x_i\) | \(f_i\) | \(f_i\cdot x_i\) | \(x_i-\bar{x}\) | \((x_i-\bar{x})^2\) | \(f_i(x_i-\bar{x})^2\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(50-59\) | \(54{,}5\) | \(5\) | \(272{,}5\) | \(-21{,}6\) | \(466{,}56\) | \(2332{,}8\) |
| \(60-69\) | \(64{,}5\) | \(10\) | \(645\) | \(-11{,}6\) | \(134{,}56\) | \(1345{,}6\) |
| \(70-79\) | \(74{,}5\) | \(15\) | \(1117{,}5\) | \(-1{,}6\) | \(2{,}56\) | \(38{,}4\) |
| \(80-89\) | \(84{,}5\) | \(12\) | \(1014\) | \(8{,}4\) | \(70{,}56\) | \(846{,}72\) |
| \(90-99\) | \(94{,}5\) | \(8\) | \(756\) | \(18{,}4\) | \(338{,}56\) | \(2708{,}48\) |
| Total | \(50\) | \(3805\) | \(7272\) |
La media es:
\[ \bar{x}=\frac{3805}{50}=76{,}1 \]
La varianza muestral es:
\[ s^2=\frac{7272}{50-1}=\frac{7272}{49}\approx 148{,}41 \]
La desviación estándar muestral es:
\[ s=\sqrt{148{,}41}\approx 12{,}18 \]
El coeficiente de variación es:
\[ CV=\frac{12{,}18}{76{,}1}\cdot 100\%\approx 16{,}01\% \]
Interpretación: El CV es aproximadamente \(16{,}01\%\). Esto indica que los puntajes tienen una variabilidad relativa baja a moderada respecto de la media.
Ejercicio 2
Compara la variabilidad relativa de los tiempos de atención en las dos sucursales del banco del Problema 1 de la página 5, usando los resultados que ya calculaste.
De la página 5, se tienen los siguientes resultados:
- Sucursal A: media \(8{,}75\) min, desviación estándar \(5{,}72\) min.
- Sucursal B: media \(12{,}8\) min, desviación estándar \(6{,}09\) min.
Calculamos el coeficiente de variación de cada sucursal:
\[ CV_A=\frac{5{,}72}{8{,}75}\cdot 100\%\approx 65{,}37\% \]
\[ CV_B=\frac{6{,}09}{12{,}8}\cdot 100\%\approx 47{,}58\% \]
Conclusión: Aunque la Sucursal B tiene una desviación estándar absoluta ligeramente mayor, la Sucursal A tiene mayor variabilidad relativa en los tiempos de atención, porque su coeficiente de variación es más alto.