Los datos estan dispersos?
13. Ejercicios de Selección Múltiple (Parte 2)
Ejercicios de Selección Múltiple (Parte 2)
Subunidad 1: Análisis de datos estadísticos con medidas de dispersión
Resuelve cada ejercicio seleccionando una alternativa. Luego revisa la solución desarrollada con el botón correspondiente.
Ejercicio 16
Datos agrupados: intervalo \(0-9\) con marca de clase \(4{,}5\) y frecuencia \(5\); intervalo \(10-19\) con marca de clase \(14{,}5\) y frecuencia \(10\); intervalo \(20-29\) con marca de clase \(24{,}5\) y frecuencia \(5\). Calcula la media aproximada.
- \(14{,}5\)
- \(15\)
- \(16\)
- \(15{,}5\)
- \(14\)
Respuesta correcta: a) \(14{,}5\).
Desarrollo: Para datos agrupados, usamos la media ponderada:
\[ \bar{x}=\frac{\sum x_i f_i}{\sum f_i} \]
Reemplazamos las marcas de clase y sus frecuencias:
\[ \bar{x}=\frac{(4{,}5\cdot 5)+(14{,}5\cdot 10)+(24{,}5\cdot 5)}{5+10+5} \]
\[ \bar{x}=\frac{22{,}5+145+122{,}5}{20} =\frac{290}{20}=14{,}5 \]
Por lo tanto, la media aproximada es \(14{,}5\).
Ejercicio 17
Con los datos del ejercicio 16, calcula la varianza muestral aproximada.
- \(50\)
- \(75\)
- \(56{,}25\)
- \(60{,}25\)
- \(52{,}63\)
Respuesta correcta: e) \(52{,}63\).
Desarrollo: Del ejercicio anterior, la media aproximada es:
\[ \bar{x}=14{,}5 \]
Usamos la fórmula de varianza muestral para datos agrupados:
\[ s^2=\frac{\sum f_i(x_i-\bar{x})^2}{n-1} \]
Calculamos las desviaciones respecto de la media:
- \(4{,}5-14{,}5=-10\), entonces \((-10)^2=100\).
- \(14{,}5-14{,}5=0\), entonces \(0^2=0\).
- \(24{,}5-14{,}5=10\), entonces \(10^2=100\).
Ahora ponderamos por las frecuencias:
\[ \sum f_i(x_i-\bar{x})^2=(5\cdot 100)+(10\cdot 0)+(5\cdot 100)=1000 \]
Como \(n=20\), se divide por \(n-1=19\):
\[ s^2=\frac{1000}{19}\approx 52{,}63 \]
Por lo tanto, la varianza muestral aproximada es \(52{,}63\).
Ejercicio 18
Con los datos del ejercicio 16, calcula la desviación estándar muestral aproximada.
- \(7{,}25\)
- \(7{,}5\)
- \(7\)
- \(8\)
- \(52{,}63\)
Respuesta correcta: a) \(7{,}25\).
Desarrollo: La desviación estándar muestral es la raíz cuadrada de la varianza muestral.
Del ejercicio anterior:
\[ s^2\approx 52{,}63 \]
Entonces:
\[ s=\sqrt{52{,}63}\approx 7{,}25 \]
Por lo tanto, la desviación estándar muestral aproximada es \(7{,}25\).
Ejercicio 19
Dos grupos tienen la misma media, pero el grupo A tiene una desviación estándar mayor que el grupo B. ¿Qué implica esto?
- Los datos del grupo A están más cerca de la media.
- Los datos del grupo A están más dispersos.
- El grupo A tiene más datos que el grupo B.
- El grupo B tiene más datos que el grupo A.
- No se puede concluir nada sin más información.
Respuesta correcta: b) Los datos del grupo A están más dispersos.
Justificación: La desviación estándar mide qué tan alejados están los datos respecto de la media. Si ambos grupos tienen la misma media, pero el grupo A tiene mayor desviación estándar, entonces sus datos están más separados del promedio que los del grupo B.
Ejercicio 20
Grupo X: media \(80\), desviación estándar \(5\). Grupo Y: media \(80\), desviación estándar \(12\). ¿Cuál tiene mayor variabilidad relativa?
- Grupo X.
- Grupo Y.
- Tienen la misma variabilidad relativa.
- No se puede determinar sin el coeficiente de variación.
- No se puede determinar sin los datos originales.
Respuesta correcta: b) Grupo Y.
Desarrollo: Como ambos grupos tienen la misma media, podemos comparar directamente sus desviaciones estándar.
También podemos calcular el coeficiente de variación:
\[ CV_X=\frac{5}{80}\cdot 100\%=6{,}25\% \]
\[ CV_Y=\frac{12}{80}\cdot 100\%=15\% \]
Como \(15\%>6{,}25\%\), el grupo Y tiene mayor variabilidad relativa.
Ejercicio 21
Calcula el coeficiente de variación \(CV\) para un conjunto de datos con media \(25\) y desviación estándar \(5\).
- \(5\%\)
- \(20\%\)
- \(25\%\)
- \(125\%\)
- No se puede calcular.
Respuesta correcta: b) \(20\%\).
Desarrollo: El coeficiente de variación se calcula como:
\[ CV=\frac{\text{desviación estándar}}{\text{media}}\cdot 100\% \]
Reemplazamos los valores:
\[ CV=\frac{5}{25}\cdot 100\%=0{,}2\cdot 100\%=20\% \]
Por lo tanto, el coeficiente de variación es \(20\%\).