¿Que tan probable es si....?
3. Probabilidad Condicional: Concepto y Cálculo
Probabilidad Condicional: Concepto y Cálculo
¿Qué es la Probabilidad Condicional?
Definición
La probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento \(A\), dado que ya ha ocurrido otro evento \(B\). Es un recálculo de la probabilidad de \(A\), teniendo en cuenta la información de que \(B\) ha ocurrido.
Ejemplo intuitivo
Supongamos que hay una bolsa con \(5\) bolas: \(3\) rojas y \(2\) azules.
Antes de extraer una bola, la probabilidad de sacar una roja es:
\[ P(\text{roja})=\frac{3}{5} \]
Si ya se sacó una bola roja y no se devuelve a la bolsa, quedan \(4\) bolas en total, de las cuales \(2\) son rojas.
Entonces, la probabilidad de sacar otra roja, dado que ya se sacó una roja, es:
\[ P(\text{otra roja}\mid \text{ya salió roja})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \]
La información adicional cambia la probabilidad.
Notación
Probabilidad de \(A\) dado \(B\)
La notación de probabilidad condicional es:
\[ P(A\mid B) \]
Se lee: “probabilidad de \(A\) dado \(B\)”.
Eventos Dependientes e Independientes
Eventos dependientes
Dos eventos son dependientes si la ocurrencia de uno afecta la probabilidad del otro.
Ejemplos:
- Sacar bolas sin reemplazo.
- El clima: “llueve hoy” y “llueve mañana”.
Eventos independientes
Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad del otro.
Ejemplos:
- Lanzar una moneda dos veces.
- Lanzar dos dados.
Cálculo de la Probabilidad Condicional
Fórmula
Si \(P(B)>0\), entonces:
\[ P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \]
Donde:
- \(P(A\mid B)\): probabilidad de \(A\) dado \(B\).
- \(P(A\cap B)\): probabilidad de que ocurran ambos eventos.
- \(P(B)\): probabilidad del evento que ya se sabe que ocurrió.
Explicación intuitiva
Al calcular \(P(A\mid B)\), restringimos el espacio muestral al evento \(B\). Luego, dentro de ese nuevo espacio, calculamos la proporción de casos donde también ocurre \(A\).
Ejemplo paso a paso
En una clase, el \(60\%\) de los estudiantes son mujeres. Además, el \(42\%\) del total son mujeres con cabello largo.
Calcula la probabilidad de que una persona tenga cabello largo, dado que es mujer.
Definimos los eventos:
- \(A\): tener cabello largo.
- \(B\): ser mujer.
Los datos son:
\[ P(B)=0{,}6 \]
\[ P(A\cap B)=0{,}42 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \]
\[ P(A\mid B)=\frac{0{,}42}{0{,}6}=0{,}7 \]
Por lo tanto:
\[ P(\text{cabello largo}\mid \text{mujer})=0{,}7=70\% \]
Caso Especial: Eventos Independientes
Condición de independencia
Si \(A\) y \(B\) son eventos independientes, entonces la ocurrencia de \(B\) no afecta la probabilidad de \(A\). Por eso:
\[ P(A\mid B)=P(A) \]
Además, si \(A\) y \(B\) son independientes, se cumple:
\[ P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B) \]
Relación con la fórmula condicional
Si \(A\) y \(B\) son independientes, entonces:
\[ P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \]
Como \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\), se tiene:
\[ P(A\mid B)=\frac{P(A)\cdot P(B)}{P(B)}=P(A) \]
Ejercicios y Problemas
Ejercicios (Nivel Básico)
Ejercicio 1
Si \(P(A)=0{,}6\), \(P(B)=0{,}3\), y \(P(A\cap B)=0{,}1\), calcula:
- \(P(A\mid B)\)
- \(P(B\mid A)\)
- ¿Son \(A\) y \(B\) independientes?
-
Usamos la fórmula:
\[ P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \]
\[ P(A\mid B)=\frac{0{,}1}{0{,}3}=\frac{1}{3} \]
-
Ahora calculamos \(P(B\mid A)\):
\[ P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} \]
\[ P(B\mid A)=\frac{0{,}1}{0{,}6}=\frac{1}{6} \]
-
Para que \(A\) y \(B\) fueran independientes, debería cumplirse \(P(A\mid B)=P(A)\) o equivalentemente \(P(B\mid A)=P(B)\).
Pero:
\[ P(A\mid B)=\frac{1}{3}\neq 0{,}6=P(A) \]
Por lo tanto, \(A\) y \(B\) no son independientes.
Ejercicio 2
Se lanza un dado. Sean los eventos:
- \(A\): obtener un número par.
- \(B\): obtener un número menor que \(4\).
Calcula:
- \(P(A)\)
- \(P(B)\)
- \(P(A\cap B)\)
- \(P(A\mid B)\)
- \(P(B\mid A)\)
- ¿Son \(A\) y \(B\) independientes?
El espacio muestral es:
\[ \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} \]
Los eventos son:
\[ A=\{2,4,6\} \]
\[ B=\{1,2,3\} \]
La intersección es:
\[ A\cap B=\{2\} \]
-
\[ P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]
-
\[ P(B)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]
-
\[ P(A\cap B)=\frac{1}{6} \]
-
\[ P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \]
\[ P(A\mid B)=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{6}\cdot 2=\frac{1}{3} \]
-
\[ P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} \]
\[ P(B\mid A)=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3} \]
-
Como \(P(A\mid B)=\frac{1}{3}\), pero \(P(A)=\frac{1}{2}\), entonces \(P(A\mid B)\neq P(A)\).
Por lo tanto, \(A\) y \(B\) no son independientes.
Ejercicio 3
Si \(A\) y \(B\) son eventos independientes, con \(P(A)=0{,}4\) y \(P(B)=0{,}6\), calcula \(P(A\cap B)\).
Si \(A\) y \(B\) son independientes, se cumple:
\[ P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B) \]
Reemplazamos los valores:
\[ P(A\cap B)=0{,}4\cdot 0{,}6=0{,}24 \]
Por lo tanto:
\[ P(A\cap B)=0{,}24 \]
Ejercicios (Nivel Intermedio)
Ejercicio 4
En una urna hay \(4\) bolas blancas y \(6\) bolas negras. Se extraen dos bolas sin reemplazo. Calcula la probabilidad de que:
- La primera bola sea blanca.
- La segunda bola sea negra, dado que la primera fue blanca.
- Ambas bolas sean blancas.
- La segunda bola sea blanca, dado que la primera fue negra.
Hay \(4+6=10\) bolas en total.
-
La probabilidad de que la primera bola sea blanca es:
\[ P(\text{primera blanca})=\frac{4}{10}=\frac{2}{5} \]
-
Si la primera bola fue blanca, quedan \(9\) bolas en total: \(3\) blancas y \(6\) negras.
\[ P(\text{segunda negra}\mid \text{primera blanca})=\frac{6}{9}=\frac{2}{3} \]
-
Para que ambas sean blancas:
\[ P(\text{ambas blancas})=P(\text{primera blanca})\cdot P(\text{segunda blanca}\mid \text{primera blanca}) \]
\[ P(\text{ambas blancas})=\frac{4}{10}\cdot \frac{3}{9} \]
\[ P(\text{ambas blancas})=\frac{12}{90}=\frac{2}{15} \]
-
Si la primera bola fue negra, quedan \(9\) bolas en total: \(4\) blancas y \(5\) negras.
\[ P(\text{segunda blanca}\mid \text{primera negra})=\frac{4}{9} \]
Ejercicio 5
Se lanza un dado dos veces. Calcula la probabilidad de:
- Obtener un \(5\) en el primer lanzamiento.
- Obtener un \(3\) en el segundo lanzamiento, dado que se obtuvo un \(5\) en el primero.
- Obtener un \(5\) en el primer lanzamiento y un \(3\) en el segundo.
- Obtener un \(5\) y un \(3\), en cualquier orden.
-
En un dado hay \(6\) resultados posibles y solo uno de ellos es \(5\).
\[ P(5\text{ en el primero})=\frac{1}{6} \]
-
Los lanzamientos de un dado son independientes. Por lo tanto, lo ocurrido en el primer lanzamiento no cambia la probabilidad del segundo.
\[ P(3\text{ en el segundo}\mid 5\text{ en el primero})=\frac{1}{6} \]
-
Como los lanzamientos son independientes:
\[ P(5\text{ primero y }3\text{ segundo})=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36} \]
-
Obtener un \(5\) y un \(3\), en cualquier orden, puede ocurrir de dos maneras:
- Primero \(5\) y después \(3\).
- Primero \(3\) y después \(5\).
Entonces:
\[ P=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6} \]
\[ P=\frac{1}{36}+\frac{1}{36}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18} \]
Problemas (Nivel Intermedio-Avanzado)
Problema 1
Una fábrica tiene dos máquinas, A y B, que producen el mismo tipo de pieza. La máquina A produce el \(60\%\) de las piezas y la máquina B el \(40\%\). El \(5\%\) de las piezas producidas por A son defectuosas, y el \(2\%\) de las producidas por B son defectuosas. Se elige una pieza al azar.
- Calcula la probabilidad de que la pieza sea defectuosa.
- Si la pieza elegida es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producida por la máquina A?
- Si la pieza elegida no es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producida por la máquina B?
Definimos los eventos:
- \(A\): la pieza fue producida por la máquina A.
- \(B\): la pieza fue producida por la máquina B.
- \(D\): la pieza es defectuosa.
Los datos son:
\[ P(A)=0{,}6,\qquad P(B)=0{,}4 \]
\[ P(D\mid A)=0{,}05,\qquad P(D\mid B)=0{,}02 \]
-
La pieza defectuosa puede venir de la máquina A o de la máquina B:
\[ P(D)=P(D\cap A)+P(D\cap B) \]
\[ P(D)=P(D\mid A)P(A)+P(D\mid B)P(B) \]
\[ P(D)=0{,}05\cdot 0{,}6+0{,}02\cdot 0{,}4 \]
\[ P(D)=0{,}03+0{,}008=0{,}038 \]
La probabilidad de que la pieza sea defectuosa es \(0{,}038\), es decir, \(3{,}8\%\).
-
Se pide \(P(A\mid D)\). Usamos la fórmula de probabilidad condicional:
\[ P(A\mid D)=\frac{P(A\cap D)}{P(D)} \]
Como:
\[ P(A\cap D)=P(D\mid A)P(A)=0{,}05\cdot 0{,}6=0{,}03 \]
Entonces:
\[ P(A\mid D)=\frac{0{,}03}{0{,}038}\approx 0{,}7895 \]
La probabilidad es aproximadamente \(78{,}95\%\).
-
Se pide \(P(B\mid D^c)\), donde \(D^c\) significa “no defectuosa”.
Primero calculamos:
\[ P(D^c)=1-P(D)=1-0{,}038=0{,}962 \]
También:
\[ P(D^c\mid B)=1-P(D\mid B)=1-0{,}02=0{,}98 \]
Entonces:
\[ P(B\cap D^c)=P(D^c\mid B)P(B)=0{,}98\cdot 0{,}4=0{,}392 \]
Aplicamos probabilidad condicional:
\[ P(B\mid D^c)=\frac{P(B\cap D^c)}{P(D^c)} \]
\[ P(B\mid D^c)=\frac{0{,}392}{0{,}962}\approx 0{,}4075 \]
La probabilidad es aproximadamente \(40{,}75\%\).
Problema 2
Se tienen tres monedas. La primera moneda es normal, es decir, tiene una cara y un sello. La segunda moneda tiene dos caras. La tercera moneda está trucada de tal manera que la probabilidad de obtener cara es \(\frac{1}{3}\). Se elige una moneda al azar y se lanza.
- Calcula la probabilidad de obtener cara.
- Si el resultado del lanzamiento fue cara, ¿cuál es la probabilidad de que se haya elegido la moneda normal?
Definimos los eventos:
- \(M_1\): elegir la moneda normal.
- \(M_2\): elegir la moneda con dos caras.
- \(M_3\): elegir la moneda trucada.
- \(C\): obtener cara.
Como se elige una moneda al azar:
\[ P(M_1)=P(M_2)=P(M_3)=\frac{1}{3} \]
Además:
\[ P(C\mid M_1)=\frac{1}{2},\qquad P(C\mid M_2)=1,\qquad P(C\mid M_3)=\frac{1}{3} \]
-
Calculamos la probabilidad total de obtener cara:
\[ P(C)=P(C\mid M_1)P(M_1)+P(C\mid M_2)P(M_2)+P(C\mid M_3)P(M_3) \]
\[ P(C)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}+1\cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3} \]
\[ P(C)=\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{9} \]
Usamos denominador común \(18\):
\[ P(C)=\frac{3}{18}+\frac{6}{18}+\frac{2}{18}=\frac{11}{18} \]
-
Se pide \(P(M_1\mid C)\), es decir, la probabilidad de que la moneda haya sido la normal, sabiendo que salió cara.
\[ P(M_1\mid C)=\frac{P(M_1\cap C)}{P(C)} \]
Calculamos:
\[ P(M_1\cap C)=P(C\mid M_1)P(M_1)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6} \]
Entonces:
\[ P(M_1\mid C)=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{11}{18}} \]
\[ P(M_1\mid C)=\frac{1}{6}\cdot \frac{18}{11}=\frac{3}{11} \]
Problema 3
Demuestra que si \(A\) y \(B\) son eventos independientes, entonces \(A^c\) y \(B^c\) también son independientes.
Debemos demostrar que:
\[ P(A^c\cap B^c)=P(A^c)\cdot P(B^c) \]
Como \(A^c\cap B^c\) significa que no ocurre \(A\) ni ocurre \(B\), podemos escribir:
\[ A^c\cap B^c=(A\cup B)^c \]
Por lo tanto:
\[ P(A^c\cap B^c)=P((A\cup B)^c) \]
Usamos la regla del complemento:
\[ P((A\cup B)^c)=1-P(A\cup B) \]
Aplicamos la regla general de la suma:
\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \]
Entonces:
\[ P(A^c\cap B^c)=1-[P(A)+P(B)-P(A\cap B)] \]
Como \(A\) y \(B\) son independientes:
\[ P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B) \]
Reemplazamos:
\[ P(A^c\cap B^c)=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B) \]
Factorizamos:
\[ P(A^c\cap B^c)=(1-P(A))(1-P(B)) \]
Por la regla del complemento:
\[ 1-P(A)=P(A^c) \]
y
\[ 1-P(B)=P(B^c) \]
Por lo tanto:
\[ P(A^c\cap B^c)=P(A^c)\cdot P(B^c) \]
Esto demuestra que \(A^c\) y \(B^c\) también son independientes.
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