¿Que tan probable es si....?
4. Tablas de Doble Entrada y Diagramas de Árbol
Tablas de Doble Entrada y Diagramas de Árbol
Repaso: Probabilidad Condicional
Recordemos
La probabilidad condicional se calcula mediante:
\[ P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \]
Se interpreta como la probabilidad de que ocurra \(A\), dado que \(B\) ya ocurrió. Para usar esta fórmula debe cumplirse que \(P(B)>0\).
Tablas de Doble Entrada (Tablas de Contingencia)
¿Qué son?
Las tablas de doble entrada, también llamadas tablas de contingencia, organizan información sobre dos variables categóricas o eventos al mismo tiempo. Muestran las frecuencias o probabilidades de las distintas combinaciones posibles entre esas variables.
Estructura
Una tabla de doble entrada típica tiene:
- Filas: representan las categorías de una variable o los posibles resultados de un evento.
- Columnas: representan las categorías de la otra variable o los posibles resultados de otro evento.
- Celdas internas: contienen la frecuencia o probabilidad de la intersección entre categorías.
- Márgenes: corresponden a los totales de filas y columnas, también llamados frecuencias o probabilidades marginales.
Ejemplo: encuesta sobre hábito de lectura y género
Se encuesta a \(100\) personas sobre su género y si leen regularmente:
| Lee regularmente \((L)\) | No lee regularmente \((L^c)\) | Total | |
|---|---|---|---|
| Hombre \((H)\) | 20 | 30 | 50 |
| Mujer \((M)\) | 35 | 15 | 50 |
| Total | 55 | 45 | 100 |
Cálculo de probabilidades a partir de una tabla
- Probabilidades conjuntas: se encuentran en las celdas internas de la tabla. Por ejemplo: \[ P(H\cap L)=\frac{20}{100}=0{,}2 \]
- Probabilidades marginales: se calculan usando los totales de filas o columnas. Por ejemplo: \[ P(H)=\frac{50}{100}=0{,}5 \] \[ P(L)=\frac{55}{100}=0{,}55 \]
- Probabilidades condicionales: se calculan usando la fórmula de probabilidad condicional. Por ejemplo: \[ P(L\mid H)=\frac{P(L\cap H)}{P(H)}=\frac{\frac{20}{100}}{\frac{50}{100}}=\frac{20}{50}=0{,}4 \]
Diagramas de Árbol
¿Qué son?
Los diagramas de árbol son representaciones que muestran los posibles resultados de una secuencia de eventos, junto con sus probabilidades. Son especialmente útiles para visualizar experimentos que ocurren en etapas.
Estructura
- Nodo inicial: representa el punto de partida.
- Ramas: representan los posibles resultados de cada etapa.
- Probabilidades en las ramas: indican la probabilidad asociada a cada resultado.
- Nodos finales: representan los resultados finales de la secuencia.
Ejemplo: lanzar una moneda dos veces
Al lanzar una moneda dos veces, cada lanzamiento puede resultar en cara \((C)\) o sello \((S)\).
Los resultados finales son:
\[ CC,\ CS,\ SC,\ SS \]
Cada resultado final tiene probabilidad:
\[ \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4} \]
Cálculo de probabilidades con diagramas de árbol
- Regla del producto: para calcular la probabilidad de una secuencia específica, se multiplican las probabilidades de las ramas del camino.
- Probabilidad total: para calcular la probabilidad de un evento que puede ocurrir por varios caminos, se suman las probabilidades de esos caminos.
Ejemplo de cálculo con árbol
Usando el experimento de lanzar una moneda dos veces:
La probabilidad de obtener dos caras es:
\[ P(CC)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4} \]
La probabilidad de obtener exactamente una cara es:
\[ P(CS)+P(SC)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} \]
\[ P(\text{exactamente una cara})=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2} \]
Comparación: Tablas vs. Árboles
Comparación
- Tablas de doble entrada: son útiles para mostrar todas las combinaciones posibles entre dos eventos o variables, junto con sus frecuencias o probabilidades conjuntas. También permiten calcular probabilidades marginales fácilmente.
- Limitación de las tablas: se vuelven difíciles de manejar cuando hay más de dos eventos.
- Diagramas de árbol: son útiles para visualizar secuencias de eventos y calcular probabilidades en etapas.
- Limitación de los árboles: pueden volverse muy grandes si hay muchos eventos o muchos resultados posibles en cada etapa.
Ejercicios y Problemas
Ejercicio 1
Completa la siguiente tabla de doble entrada sobre la preferencia de color, rojo o azul, y el género, hombre o mujer, de un grupo de personas:
| Rojo | Azul | Total | |
|---|---|---|---|
| Hombre | 40 | ||
| Mujer | 30 | ||
| Total | 50 | 100 |
Como el total de personas que prefieren rojo es \(50\), y \(30\) mujeres prefieren rojo, entonces:
\[ 50-30=20 \]
Por lo tanto, \(20\) hombres prefieren rojo.
Como hay \(100\) personas en total y \(50\) prefieren rojo, entonces:
\[ 100-50=50 \]
Por lo tanto, \(50\) personas prefieren azul.
Como \(40\) hombres prefieren azul, el total de hombres es:
\[ 20+40=60 \]
Como hay \(100\) personas en total, el total de mujeres es:
\[ 100-60=40 \]
Finalmente, si hay \(40\) mujeres en total y \(30\) prefieren rojo, entonces:
\[ 40-30=10 \]
Por lo tanto, \(10\) mujeres prefieren azul.
| Rojo | Azul | Total | |
|---|---|---|---|
| Hombre | 20 | 40 | 60 |
| Mujer | 30 | 10 | 40 |
| Total | 50 | 50 | 100 |
Ejercicio 2
Usando la tabla completa del Ejercicio 1, calcula:
- \(P(\text{Hombre})\)
- \(P(\text{Rojo})\)
- \(P(\text{Hombre}\cap \text{Rojo})\)
- \(P(\text{Hombre}\mid \text{Rojo})\)
- \(P(\text{Rojo}\mid \text{Mujer})\)
La tabla completa es:
| Rojo | Azul | Total | |
|---|---|---|---|
| Hombre | 20 | 40 | 60 |
| Mujer | 30 | 10 | 40 |
| Total | 50 | 50 | 100 |
-
Hay \(60\) hombres de \(100\) personas:
\[ P(\text{Hombre})=\frac{60}{100}=0{,}6 \]
-
Hay \(50\) personas que prefieren rojo:
\[ P(\text{Rojo})=\frac{50}{100}=0{,}5 \]
-
Hay \(20\) hombres que prefieren rojo:
\[ P(\text{Hombre}\cap \text{Rojo})=\frac{20}{100}=0{,}2 \]
-
Calculamos la probabilidad de que sea hombre, dado que prefiere rojo:
\[ P(\text{Hombre}\mid \text{Rojo})=\frac{P(\text{Hombre}\cap \text{Rojo})}{P(\text{Rojo})} \]
\[ P(\text{Hombre}\mid \text{Rojo})=\frac{0{,}2}{0{,}5}=0{,}4 \]
-
Hay \(30\) mujeres que prefieren rojo, de un total de \(40\) mujeres:
\[ P(\text{Rojo}\mid \text{Mujer})=\frac{30}{40}=0{,}75 \]
Ejercicio 3
Dibuja un diagrama de árbol para representar el experimento de lanzar un dado de seis caras y luego lanzar una moneda. Calcula la probabilidad de obtener un número par en el dado y cara en la moneda.
El siguiente diagrama de árbol representa primero el resultado del dado y luego el resultado de la moneda:
Los números pares del dado son \(2\), \(4\) y \(6\). Además, la probabilidad de cara en la moneda es \(\frac{1}{2}\).
Entonces:
\[ P(\text{par y cara})=P(2\text{ y cara})+P(4\text{ y cara})+P(6\text{ y cara}) \]
\[ P(\text{par y cara})=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2} \]
\[ P(\text{par y cara})=\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4} \]
Problema 1
Una empresa realiza una encuesta sobre la satisfacción de sus clientes con dos productos, A y B. Los resultados se muestran en la siguiente tabla:
| Satisfecho \((S)\) | No satisfecho \((S^c)\) | Total | |
|---|---|---|---|
| Producto A | 120 | 30 | 150 |
| Producto B | 180 | 70 | 250 |
| Total | 300 | 100 | 400 |
- Calcula la probabilidad de que un cliente elegido al azar esté satisfecho.
- Calcula la probabilidad de que un cliente haya comprado el Producto A, dado que está satisfecho.
- Calcula la probabilidad de que un cliente esté satisfecho, dado que compró el Producto B.
- ¿Son los eventos “comprar el Producto A” y “estar satisfecho” independientes? Justifica tu respuesta.
-
Hay \(300\) clientes satisfechos de un total de \(400\):
\[ P(S)=\frac{300}{400}=0{,}75 \]
-
Queremos calcular \(P(A\mid S)\). De la tabla, \(120\) clientes compraron el Producto A y están satisfechos, y \(300\) clientes están satisfechos en total.
\[ P(A\mid S)=\frac{120}{300}=0{,}4 \]
-
Queremos calcular \(P(S\mid B)\). De la tabla, \(180\) clientes compraron el Producto B y están satisfechos, y \(250\) compraron el Producto B en total.
\[ P(S\mid B)=\frac{180}{250}=0{,}72 \]
-
Para que los eventos “comprar el Producto A” y “estar satisfecho” fueran independientes, debería cumplirse:
\[ P(A\mid S)=P(A) \]
Ya calculamos:
\[ P(A\mid S)=0{,}4 \]
Ahora calculamos:
\[ P(A)=\frac{150}{400}=0{,}375 \]
Como:
\[ 0{,}4\neq 0{,}375 \]
los eventos no son independientes.
Problema 2
Se tienen dos urnas. La Urna 1 contiene \(2\) bolas rojas y \(3\) bolas azules. La Urna 2 contiene \(4\) bolas rojas y \(1\) bola azul. Se elige una urna al azar y se extrae una bola.
- Dibuja un diagrama de árbol para representar este experimento.
- Calcula la probabilidad de que la bola extraída sea roja.
- Si la bola extraída es roja, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la Urna 1?
-
El diagrama de árbol tiene dos etapas: primero se elige la urna y luego se extrae una bola.
-
La bola roja puede provenir de la Urna 1 o de la Urna 2. Entonces:
\[ P(\text{roja})=P(U_1)P(\text{roja}\mid U_1)+P(U_2)P(\text{roja}\mid U_2) \]
\[ P(\text{roja})=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{5}+\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{5} \]
\[ P(\text{roja})=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}=\frac{3}{5} \]
-
Se pide la probabilidad de que la bola provenga de la Urna 1, dado que fue roja:
\[ P(U_1\mid \text{roja})=\frac{P(U_1\cap \text{roja})}{P(\text{roja})} \]
Sabemos que:
\[ P(U_1\cap \text{roja})=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{5}=\frac{1}{5} \]
y que:
\[ P(\text{roja})=\frac{3}{5} \]
Entonces:
\[ P(U_1\mid \text{roja})=\frac{\frac{1}{5}}{\frac{3}{5}}=\frac{1}{3} \]
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