Ecuaciones exponenciales
4. Nivel 2: Método de Base Común (cc2)
Nivel 2: Método de Base Común
Idea central
En este nivel las ecuaciones tienen bases distintas pero un mismo factor primo de fondo. El procedimiento consiste en reescribir cada base como una potencia de una base común (por lo general 2, 3 o 5), igualar exponentes y despejar \(x\).
Procedimiento
- Descompón cada base (los números grandes) como una potencia de un mismo número primo (la base común).
- Aplica la propiedad de "potencia de una potencia" para simplificar los exponentes.
- Una vez que las bases son iguales, iguala los exponentes y despeja \(x\).
¡Cuidado con los exponentes!
Un error común es no distribuir bien el exponente. Recuerda que en una expresión como \((a^m)^{P+Q}\), el nuevo exponente es \(m \cdot (P+Q)\), no solo \(m \cdot P + Q\). ¡Siempre usa paréntesis al multiplicar!
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo A: \(9^{x} = 81\)
Paso 1: Igualar bases. Sabemos que \(9 = 3^{2}\) y \(81 = 3^{4}\).
\((3^{2})^{x} = 3^{4}\)
\(3^{2x} = 3^{4}\)
Paso 2: Igualar exponentes y despejar.
\(2x = 4\)
\(x = \dfrac{4}{2} \;\Rightarrow\; x = 2\)
\((3^{2})^{x} = 3^{4}\)
\(3^{2x} = 3^{4}\)
Paso 2: Igualar exponentes y despejar.
\(2x = 4\)
\(x = \dfrac{4}{2} \;\Rightarrow\; x = 2\)
Ejemplo B: \(8^{2x-1} = 32\)
Paso 1: Igualar bases. Sabemos que \(8 = 2^{3}\) y \(32 = 2^{5}\).
\((2^{3})^{2x-1} = 2^{5}\)
\(2^{3(2x-1)} = 2^{5}\)
Paso 2: Igualar exponentes y despejar.
\(3(2x-1) = 5\)
\(6x - 3 = 5\)
\(6x = 8 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{8}{6} \;\Rightarrow\; x = \dfrac{4}{3}\)
\((2^{3})^{2x-1} = 2^{5}\)
\(2^{3(2x-1)} = 2^{5}\)
Paso 2: Igualar exponentes y despejar.
\(3(2x-1) = 5\)
\(6x - 3 = 5\)
\(6x = 8 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{8}{6} \;\Rightarrow\; x = \dfrac{4}{3}\)
Ejemplo C: \(27^{x+2} = 243\)
Paso 1: Igualar bases. Sabemos que \(27 = 3^{3}\) y \(243 = 3^{5}\).
\((3^{3})^{x+2} = 3^{5}\)
\(3^{3(x+2)} = 3^{5}\)
Paso 2: Igualar exponentes y despejar.
\(3(x+2) = 5\)
\(3x + 6 = 5\)
\(3x = 5 - 6\)
\(3x = -1 \;\Rightarrow\; x = -\dfrac{1}{3}\)
\((3^{3})^{x+2} = 3^{5}\)
\(3^{3(x+2)} = 3^{5}\)
Paso 2: Igualar exponentes y despejar.
\(3(x+2) = 5\)
\(3x + 6 = 5\)
\(3x = 5 - 6\)
\(3x = -1 \;\Rightarrow\; x = -\dfrac{1}{3}\)
Ejercicios propuestos (11 – 20)
Pulsa el botón a la derecha de cada enunciado para mostrar u ocultar la solución.
Ejercicio 11
\(2^{x+1} = 16\)
Como \(16 = 2^{4}\):
\(2^{x+1} = 2^{4}\)
\(x+1 = 4 \;\Rightarrow\; x = 3\)
\(2^{x+1} = 2^{4}\)
\(x+1 = 4 \;\Rightarrow\; x = 3\)
Ejercicio 12
\(9^{x} = 27\)
Bases en potencias de 3: \(9=3^2\), \(27=3^3\).
\((3^2)^x = 3^3\)
\(3^{2x} = 3^3\)
\(2x = 3 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{3}{2}\)
\((3^2)^x = 3^3\)
\(3^{2x} = 3^3\)
\(2x = 3 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{3}{2}\)
Ejercicio 13
\(5^{2x} = 125\)
Como \(125 = 5^{3}\):
\(5^{2x} = 5^{3}\)
\(2x = 3 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{3}{2}\)
\(5^{2x} = 5^{3}\)
\(2x = 3 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{3}{2}\)
Ejercicio 14
\(3^{x+2} = 81\)
Como \(81 = 3^{4}\):
\(3^{x+2} = 3^{4}\)
\(x+2 = 4 \;\Rightarrow\; x = 2\)
\(3^{x+2} = 3^{4}\)
\(x+2 = 4 \;\Rightarrow\; x = 2\)
Ejercicio 15
\(4^{x-1} = 2^{4}\)
Como \(4 = 2^{2}\):
\((2^{2})^{x-1} = 2^{4}\)
\(2(x-1) = 4\)
\(2x-2 = 4 \;\Rightarrow\; 2x=6 \;\Rightarrow\; x=3\)
\((2^{2})^{x-1} = 2^{4}\)
\(2(x-1) = 4\)
\(2x-2 = 4 \;\Rightarrow\; 2x=6 \;\Rightarrow\; x=3\)
Ejercicio 16
\(6^{2x-1} = 216\)
Como \(216 = 6^{3}\):
\(6^{2x-1} = 6^{3}\)
\(2x-1 = 3 \;\Rightarrow\; 2x=4 \;\Rightarrow\; x=2\)
\(6^{2x-1} = 6^{3}\)
\(2x-1 = 3 \;\Rightarrow\; 2x=4 \;\Rightarrow\; x=2\)
Ejercicio 17
\(8^{x+2} = 512\)
Como \(512 = 8^{3}\):
\(8^{x+2} = 8^{3}\)
\(x+2 = 3 \;\Rightarrow\; x = 1\)
\(8^{x+2} = 8^{3}\)
\(x+2 = 3 \;\Rightarrow\; x = 1\)
Ejercicio 18
\(27^{x} = 9\)
Bases en potencias de 3: \(27=3^3\), \(9=3^2\).
\((3^3)^x = 3^2\)
\(3^{3x} = 3^2\)
\(3x = 2 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{2}{3}\)
\((3^3)^x = 3^2\)
\(3^{3x} = 3^2\)
\(3x = 2 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{2}{3}\)
Ejercicio 19
\(3^{2x+1} = 27\)
Como \(27 = 3^{3}\):
\(3^{2x+1} = 3^{3}\)
\(2x+1 = 3 \;\Rightarrow\; 2x=2 \;\Rightarrow\; x=1\)
\(3^{2x+1} = 3^{3}\)
\(2x+1 = 3 \;\Rightarrow\; 2x=2 \;\Rightarrow\; x=1\)
Ejercicio 20
\(25^{x-2} = 5\)
Como \(25 = 5^{2}\) y \(5 = 5^1\):
\((5^2)^{x-2} = 5^1\)
\(2(x-2) = 1\)
\(2x-4=1 \;\Rightarrow\; 2x=5 \;\Rightarrow\; x=\dfrac{5}{2}\)
\((5^2)^{x-2} = 5^1\)
\(2(x-2) = 1\)
\(2x-4=1 \;\Rightarrow\; 2x=5 \;\Rightarrow\; x=\dfrac{5}{2}\)