Ecuaciones Logaritmicas
2. Nivel 1: Definición y Ecuaciones Básicas
Ecuaciones logarítmicas – Nivel 1: definición y ecuaciones básicas
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Bienvenido/a a la unidad de ecuaciones logarítmicas. En este primer nivel, abordaremos el tipo más fundamental de ecuación, donde la clave para resolverla es entender y aplicar la definición de logaritmo.
La definición clave
Un logaritmo es la operación inversa a una potencia. La expresión \(\log_b(y)=x\) es equivalente a decir que \(b^x=y\).
En palabras:
Es decir, la base elevada al resultado es igual al argumento.
Procedimiento
- Identifica la base, el argumento y el resultado del logaritmo.
- Aplica la definición para reescribir la ecuación en forma exponencial.
- Resuelve la ecuación resultante para encontrar el valor de \(x\).
- Verifica las restricciones del logaritmo.
Restricciones del logaritmo
En \(\log_b(y)\), la base \(b\) y el argumento \(y\) deben cumplir:
- La base debe ser positiva y distinta de \(1\): \(b>0\) y \(b\neq 1\).
- El argumento debe ser positivo: \(y>0\).
Esto es especialmente importante cuando la incógnita \(x\) aparece en la base o en el argumento.
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo A: \(\log_2(x)=5\)
Identificamos:
- base: \(2\),
- argumento: \(x\),
- resultado: \(5\).
Aplicamos la definición:
\[ \log_2(x)=5 \quad\Longleftrightarrow\quad 2^5=x \]
Calculamos:
\[ x=32 \]
La solución es \(x=32\).
Ejemplo B: \(\log_x(49)=2\)
En este caso, la incógnita está en la base del logaritmo.
Aplicamos la definición:
\[ \log_x(49)=2 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2=49 \]
Resolvemos:
\[ x=\pm\sqrt{49} \]
\[ x=7 \quad \text{o} \quad x=-7 \]
Como la base de un logaritmo debe ser positiva y distinta de \(1\), descartamos \(x=-7\).
La única solución válida es \(x=7\).
Ejemplo C: \(\log_3(2x+1)=4\)
Aplicamos la definición:
\[ \log_3(2x+1)=4 \quad\Longleftrightarrow\quad 3^4=2x+1 \]
Calculamos y despejamos:
\[ 81=2x+1 \]
\[ 80=2x \]
\[ x=40 \]
Verificamos la restricción del argumento:
\[ 2x+1>0 \]
Para \(x=40\):
\[ 2(40)+1=81>0 \]
La solución es \(x=40\).
Ejercicios propuestos
Ejercicio 1
Resuelve \(\log_4(x)=3\).
Aplicamos la definición de logaritmo:
\[ \log_4(x)=3 \quad\Longleftrightarrow\quad 4^3=x \]
Calculamos:
\[ x=64 \]
Como \(x=64>0\), el argumento es válido.
La solución es \(x=64\).
Ejercicio 2
Resuelve \(\log_5(x)=2\).
Aplicamos la definición:
\[ \log_5(x)=2 \quad\Longleftrightarrow\quad 5^2=x \]
Entonces:
\[ x=25 \]
La solución es \(x=25\).
Ejercicio 3
Resuelve \(\log_x(100)=2\).
Aplicamos la definición:
\[ \log_x(100)=2 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2=100 \]
Resolvemos:
\[ x=\pm 10 \]
Como \(x\) es la base del logaritmo, debe cumplir \(x>0\) y \(x\neq 1\). Por eso se descarta \(x=-10\).
La solución válida es \(x=10\).
Ejercicio 4
Resuelve \(\log_{10}(x+1)=3\).
Aplicamos la definición:
\[ \log_{10}(x+1)=3 \quad\Longleftrightarrow\quad 10^3=x+1 \]
Calculamos:
\[ 1000=x+1 \]
Despejamos:
\[ x=999 \]
Verificamos el argumento:
\[ x+1=1000>0 \]
La solución es \(x=999\).
Ejercicio 5
Resuelve \(\log_2(32)=x\).
Aplicamos la definición:
\[ \log_2(32)=x \quad\Longleftrightarrow\quad 2^x=32 \]
Escribimos \(32\) como potencia de \(2\):
\[ 32=2^5 \]
Entonces:
\[ 2^x=2^5 \]
Por lo tanto, \(x=5\).
Ejercicio 6
Resuelve \(\log_x(81)=4\).
Aplicamos la definición:
\[ \log_x(81)=4 \quad\Longleftrightarrow\quad x^4=81 \]
Como \(81=3^4\), las soluciones algebraicas son:
\[ x=3 \quad \text{o} \quad x=-3 \]
Pero \(x\) es base del logaritmo, por lo que debe ser positiva y distinta de \(1\). Descartamos \(x=-3\).
La solución válida es \(x=3\).
Ejercicio 7
Resuelve \(\log_7(x)=1\).
Aplicamos la definición:
\[ \log_7(x)=1 \quad\Longleftrightarrow\quad 7^1=x \]
Entonces:
\[ x=7 \]
La solución es \(x=7\).
Ejercicio 8
Resuelve \(\log_3(2x-1)=2\).
Aplicamos la definición:
\[ \log_3(2x-1)=2 \quad\Longleftrightarrow\quad 3^2=2x-1 \]
Calculamos:
\[ 9=2x-1 \]
Despejamos:
\[ 10=2x \]
\[ x=5 \]
Verificamos el argumento:
\[ 2(5)-1=9>0 \]
La solución es \(x=5\).
Ejercicio 9
Resuelve \(\log_x(64)=3\).
Aplicamos la definición:
\[ \log_x(64)=3 \quad\Longleftrightarrow\quad x^3=64 \]
Como \(64=4^3\), se obtiene:
\[ x=4 \]
Además, \(x=4\) cumple que la base es positiva y distinta de \(1\).
La solución es \(x=4\).
Ejercicio 10
Resuelve \(\log(x)=-2\).
Cuando aparece \(\log(x)\) sin base escrita, se entiende base \(10\):
\[ \log(x)=\log_{10}(x) \]
Aplicamos la definición:
\[ \log_{10}(x)=-2 \quad\Longleftrightarrow\quad 10^{-2}=x \]
Calculamos:
\[ x=\frac{1}{100}=0{,}01 \]
La solución es \(x=0{,}01\).