Ecuaciones Logaritmicas
5. Nivel 3: Logaritmos en Ambos Lados
Ecuaciones logarítmicas – Nivel 3: propiedad de igualdad
Inicio
En este nivel nos encontramos con ecuaciones que, tras simplificarlas, toman la forma \(\log_b(P)=\log_b(Q)\). Son directas de resolver una vez que se alcanza esa estructura.
Propiedad de igualdad de logaritmos
Si dos logaritmos con la misma base son iguales, entonces sus argumentos deben ser iguales.
Esto permite transformar una ecuación logarítmica en una ecuación algebraica más sencilla.
Procedimiento
- Usa propiedades si es necesario para obtener un solo logaritmo a cada lado.
- Una vez que tengas la forma \(\log_b(P)=\log_b(Q)\), iguala los argumentos: \(P=Q\).
- Resuelve la ecuación resultante para \(x\).
- Verifica las soluciones en la ecuación original.
Verificar sigue siendo necesario
Aunque la propiedad de igualdad permite resolver de forma rápida, siempre se deben revisar los argumentos de los logaritmos en la ecuación original.
Cada argumento debe ser positivo. Si una solución hace que algún argumento sea menor o igual que \(0\), debe descartarse.
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo A: igualdad directa
Resuelve:
\[ \ln(3x-1)=\ln(x+5) \]
Como ambos logaritmos tienen la misma base, igualamos argumentos:
\[ 3x-1=x+5 \]
Resolvemos:
\[ 2x=6 \]
\[ x=3 \]
Verificamos en la ecuación original:
- \(3(3)-1=8>0\),
- \(3+5=8>0\).
La solución válida es \(x=3\).
Ejemplo B: igualdad después de usar propiedades
Resuelve:
\[ \log(x)+\log(3)=\log(x+4) \]
Primero, combinamos los logaritmos del lado izquierdo:
\[ \log(3x)=\log(x+4) \]
Ahora igualamos argumentos:
\[ 3x=x+4 \]
Resolvemos:
\[ 2x=4 \]
\[ x=2 \]
Verificamos los argumentos originales:
- \(x=2>0\),
- \(3>0\),
- \(x+4=6>0\).
La solución válida es \(x=2\).
Ejercicios propuestos
Ejercicio 21
Resuelve \(\log_5(2x+3)=\log_5(11)\).
Como los logaritmos tienen la misma base, igualamos argumentos:
\[ 2x+3=11 \]
\[ 2x=8 \]
\[ x=4 \]
Verificamos:
\[ 2(4)+3=11>0 \]
La solución es \(x=4\).
Ejercicio 22
Resuelve \(\log(4x)=\log(x+9)\).
Igualamos argumentos:
\[ 4x=x+9 \]
\[ 3x=9 \]
\[ x=3 \]
Verificamos:
\[ 4(3)=12>0 \qquad\text{y}\qquad 3+9=12>0 \]
La solución es \(x=3\).
Ejercicio 23
Resuelve \(\ln(x^2+3)=\ln(4x)\).
Igualamos argumentos:
\[ x^2+3=4x \]
\[ x^2-4x+3=0 \]
Factorizamos:
\[ (x-1)(x-3)=0 \]
\[ x=1 \qquad\text{o}\qquad x=3 \]
Verificamos los argumentos:
- Para \(x=1\), \(x^2+3=4>0\) y \(4x=4>0\).
- Para \(x=3\), \(x^2+3=12>0\) y \(4x=12>0\).
Las soluciones son \(x=1\) y \(x=3\).
Ejercicio 24
Resuelve \(\log(x+5)+\log(2)=\log(3x+1)\).
Combinamos los logaritmos del lado izquierdo:
\[ \log(2(x+5))=\log(3x+1) \]
Igualamos argumentos:
\[ 2(x+5)=3x+1 \]
\[ 2x+10=3x+1 \]
\[ x=9 \]
Verificamos:
\[ 9+5=14>0 \qquad\text{y}\qquad 3(9)+1=28>0 \]
La solución es \(x=9\).
Ejercicio 25
Resuelve \(2\log(x)=\log(4x-4)\).
Usamos la propiedad del coeficiente:
\[ 2\log(x)=\log(x^2) \]
Entonces:
\[ \log(x^2)=\log(4x-4) \]
Igualamos argumentos:
\[ x^2=4x-4 \]
\[ x^2-4x+4=0 \]
\[ (x-2)^2=0 \]
\[ x=2 \]
Verificamos:
\[ x=2>0 \qquad\text{y}\qquad 4(2)-4=4>0 \]
La solución es \(x=2\).
Ejercicio 26
Resuelve \(\log_7(6x-2)=\log_7(2x+6)\).
Igualamos argumentos:
\[ 6x-2=2x+6 \]
\[ 4x=8 \]
\[ x=2 \]
Verificamos:
\[ 6(2)-2=10>0 \qquad\text{y}\qquad 2(2)+6=10>0 \]
La solución es \(x=2\).
Ejercicio 27
Resuelve \(\log_2(x+1)-\log_2(x)=\log_2\left(\frac{3}{2}\right)\).
Primero establecemos restricciones:
\[ x+1>0 \qquad\text{y}\qquad x>0 \]
Por lo tanto, \(x>0\).
Combinamos los logaritmos del lado izquierdo:
\[ \log_2\left(\frac{x+1}{x}\right)=\log_2\left(\frac{3}{2}\right) \]
Igualamos argumentos:
\[ \frac{x+1}{x}=\frac{3}{2} \]
\[ 2(x+1)=3x \]
\[ 2x+2=3x \]
\[ x=2 \]
Como \(2>0\), la solución es válida.
La solución es \(x=2\).
Ejercicio 28
Resuelve \(\ln(x)+\ln(2)=\ln(x+1)\).
Restricciones:
\[ x>0 \qquad\text{y}\qquad x+1>0 \]
La condición principal es \(x>0\).
Combinamos:
\[ \ln(2x)=\ln(x+1) \]
Igualamos argumentos:
\[ 2x=x+1 \]
\[ x=1 \]
Como \(1>0\), la solución es válida.
La solución es \(x=1\).
Ejercicio 29
Resuelve \(\log_8(x^2+6)=\log_8(5x)\).
Igualamos argumentos:
\[ x^2+6=5x \]
\[ x^2-5x+6=0 \]
Factorizamos:
\[ (x-2)(x-3)=0 \]
\[ x=2 \qquad\text{o}\qquad x=3 \]
Verificamos:
- Para \(x=2\), \(x^2+6=10>0\) y \(5x=10>0\).
- Para \(x=3\), \(x^2+6=15>0\) y \(5x=15>0\).
Las soluciones son \(x=2\) y \(x=3\).
Ejercicio 30
Resuelve \(\log(4x)-\log(2)=\log(x+1)\).
Restricción inicial:
\[ 4x>0 \qquad\text{y}\qquad x+1>0 \]
Por lo tanto, \(x>0\).
Combinamos los logaritmos del lado izquierdo:
\[ \log\left(\frac{4x}{2}\right)=\log(x+1) \]
\[ \log(2x)=\log(x+1) \]
Igualamos argumentos:
\[ 2x=x+1 \]
\[ x=1 \]
Como \(1>0\), la solución es válida.
La solución es \(x=1\).
Ejercicio 31
Resuelve \(\log_3(5x-1)=\log_3(3x+5)\).
Igualamos argumentos:
\[ 5x-1=3x+5 \]
\[ 2x=6 \]
\[ x=3 \]
Verificamos:
\[ 5(3)-1=14>0 \qquad\text{y}\qquad 3(3)+5=14>0 \]
La solución es \(x=3\).
Ejercicio 32
Resuelve \(\ln(x+1)=\ln(2x)\).
Restricciones:
\[ x+1>0 \qquad\text{y}\qquad 2x>0 \]
Por lo tanto, \(x>0\).
Igualamos argumentos:
\[ x+1=2x \]
\[ x=1 \]
Como \(1>0\), la solución es válida.
La solución es \(x=1\).
Ejercicio 33
Resuelve \(\log(x^2+8)=\log(6x)\).
Igualamos argumentos:
\[ x^2+8=6x \]
\[ x^2-6x+8=0 \]
Factorizamos:
\[ (x-2)(x-4)=0 \]
\[ x=2 \qquad\text{o}\qquad x=4 \]
Verificamos:
- Para \(x=2\), \(x^2+8=12>0\) y \(6x=12>0\).
- Para \(x=4\), \(x^2+8=24>0\) y \(6x=24>0\).
Las soluciones son \(x=2\) y \(x=4\).
Ejercicio 34
Resuelve \(\log_2(x)+\log_2(4)=\log_2(3x+2)\).
Restricciones:
\[ x>0 \qquad\text{y}\qquad 3x+2>0 \]
La condición principal es \(x>0\).
Combinamos el lado izquierdo:
\[ \log_2(4x)=\log_2(3x+2) \]
Igualamos argumentos:
\[ 4x=3x+2 \]
\[ x=2 \]
Como \(2>0\), la solución es válida.
La solución es \(x=2\).
Ejercicio 35
Resuelve \(\log_5(x^2)=\log_5(6x-5)\).
Igualamos argumentos:
\[ x^2=6x-5 \]
\[ x^2-6x+5=0 \]
Factorizamos:
\[ (x-1)(x-5)=0 \]
\[ x=1 \qquad\text{o}\qquad x=5 \]
Verificamos:
- Para \(x=1\), \(x^2=1>0\) y \(6x-5=1>0\).
- Para \(x=5\), \(x^2=25>0\) y \(6x-5=25>0\).
Las soluciones son \(x=1\) y \(x=5\).
Ejercicio 36
Resuelve \(2\ln(x+1)=\ln(x^2+3)\).
Primero usamos la propiedad del coeficiente:
\[ 2\ln(x+1)=\ln((x+1)^2) \]
Entonces:
\[ \ln((x+1)^2)=\ln(x^2+3) \]
Igualamos argumentos:
\[ (x+1)^2=x^2+3 \]
\[ x^2+2x+1=x^2+3 \]
\[ 2x=2 \]
\[ x=1 \]
Verificamos:
\[ x+1=2>0 \qquad\text{y}\qquad x^2+3=4>0 \]
La solución es \(x=1\).
Ejercicio 37
Resuelve \(\log(4x-3)-\log(x)=\log(3)\).
Restricciones:
\[ 4x-3>0 \qquad\text{y}\qquad x>0 \]
Por lo tanto, \(x>\frac{3}{4}\).
Combinamos los logaritmos del lado izquierdo:
\[ \log\left(\frac{4x-3}{x}\right)=\log(3) \]
Igualamos argumentos:
\[ \frac{4x-3}{x}=3 \]
\[ 4x-3=3x \]
\[ x=3 \]
Como \(3>\frac{3}{4}\), la solución es válida.
La solución es \(x=3\).
Ejercicio 38
Resuelve \(\log_9(4x)=\log_9(x+6)\).
Igualamos argumentos:
\[ 4x=x+6 \]
\[ 3x=6 \]
\[ x=2 \]
Verificamos:
\[ 4(2)=8>0 \qquad\text{y}\qquad 2+6=8>0 \]
La solución es \(x=2\).
Ejercicio 39
Resuelve \(\log(x+1)+\log(3)=\log(2x+5)\).
Combinamos los logaritmos del lado izquierdo:
\[ \log(3(x+1))=\log(2x+5) \]
Igualamos argumentos:
\[ 3(x+1)=2x+5 \]
\[ 3x+3=2x+5 \]
\[ x=2 \]
Verificamos:
\[ 2+1=3>0 \qquad\text{y}\qquad 2(2)+5=9>0 \]
La solución es \(x=2\).
Ejercicio 40
Resuelve \(\log_4(x^2+1)=\log_4(x+1)\).
Igualamos argumentos:
\[ x^2+1=x+1 \]
\[ x^2-x=0 \]
Factorizamos:
\[ x(x-1)=0 \]
\[ x=0 \qquad\text{o}\qquad x=1 \]
Verificamos los argumentos originales:
- Para \(x=0\), \(x^2+1=1>0\) y \(x+1=1>0\).
- Para \(x=1\), \(x^2+1=2>0\) y \(x+1=2>0\).
Las soluciones son \(x=0\) y \(x=1\).