La Función Exponencial
2. La Función Exponencial
La función exponencial: definición y propiedades
Función exponencial
En la página anterior, vimos situaciones donde una cantidad se multiplica por un factor constante en cada intervalo de tiempo. Este comportamiento es característico del crecimiento y del decrecimiento exponencial, y se modela mediante la función exponencial.
Definición formal de la función exponencial
Una función exponencial tiene la forma general:
- \(a\): es el valor inicial, es decir, el valor de \(f(x)\) cuando \(x=0\). Debe cumplirse \(a\neq 0\).
- \(b\): es la base o factor de cambio. Debe ser positiva y distinta de \(1\): \(b>0\) y \(b\neq 1\).
- Si \(b>1\), la función representa crecimiento exponencial.
- Si \(0<b<1\), la función representa decrecimiento exponencial.
- \(x\): es la variable independiente, que muchas veces representa el tiempo.
Dominio y recorrido
- Dominio: el dominio de una función exponencial básica es el conjunto de todos los números reales: \(\mathbb{R}\).
- Recorrido: si \(a>0\), el recorrido es el conjunto de todos los números reales positivos: \((0,\infty)\). La función nunca toma el valor \(0\) ni valores negativos.
Gráfica de la función exponencial
- Asíntota horizontal: la gráfica se acerca cada vez más al eje \(X\), es decir, a la recta \(y=0\), pero no lo toca.
- Intersección con el eje \(Y\): la gráfica cruza el eje \(Y\) en el punto \((0,a)\), que corresponde al valor inicial.
- Comportamiento: es una curva suave que crece si \(b>1\) o decrece si \(0<b<1\).
Ejemplos y ejercicios
Ejemplo 1: ¿por qué la base \(b\) debe ser positiva y distinta de \(1\)?
La restricción sobre la base \(b\) es importante para que la función exponencial tenga un comportamiento consistente en los números reales.
- Si \(b\) fuera negativa, por ejemplo \((-2)^x\), la función no estaría definida en los reales para algunos exponentes fraccionarios, como \(x=\frac{1}{2}\), porque aparecería \(\sqrt{-2}\).
- Si \(b=1\), por ejemplo \(1^x\), la función sería constante y no representaría crecimiento ni decrecimiento exponencial.
- Si \(b=0\), por ejemplo \(0^x\), la expresión no estaría definida para ciertos valores de \(x\), como \(x=0\) o exponentes negativos.
Por eso, en \(f(x)=a\cdot b^x\), se exige que \(b>0\) y \(b\neq 1\).
Ejemplo 2: identificar \(a\), \(b\) y el tipo de comportamiento
Consideremos la función:
\[ f(x)=2\cdot 3^x \]
- El valor inicial es \(a=2\).
- La base es \(b=3\).
- Como \(3>1\), representa crecimiento exponencial.
Ahora consideremos:
\[ g(x)=100\cdot (0{,}5)^x \]
- El valor inicial es \(a=100\).
- La base es \(b=0{,}5\).
- Como \(0<0{,}5<1\), representa decrecimiento exponencial.
Nota sobre la base \(e\)
En muchos modelos científicos, la función exponencial también puede aparecer escrita como:
\[ f(x)=a\cdot e^{kx} \]
donde \(e\) es el número de Euler, aproximadamente \(2{,}718\). Esta forma es equivalente a usar una base positiva \(b\), pero por ahora nos centraremos en la forma \(a\cdot b^x\).
Ejercicio 1
Identifica si las siguientes funciones representan crecimiento o decrecimiento, y señala su valor inicial \(a\):
- \(f(x)=7\cdot 3^x\)
- \(g(x)=200\cdot (0{,}6)^x\)
- \(h(x)=0{,}2\cdot 5^x\)
- \(y=50\cdot \left(\frac{1}{4}\right)^x\)
- \(y=0{,}1\cdot (1{,}1)^x\)
- \(f(x)=7\cdot 3^x\): \(a=7\) y \(b=3\). Como \(3>1\), es crecimiento exponencial.
- \(g(x)=200\cdot (0{,}6)^x\): \(a=200\) y \(b=0{,}6\). Como \(0<0{,}6<1\), es decrecimiento exponencial.
- \(h(x)=0{,}2\cdot 5^x\): \(a=0{,}2\) y \(b=5\). Como \(5>1\), es crecimiento exponencial.
- \(y=50\cdot \left(\frac{1}{4}\right)^x\): \(a=50\) y \(b=\frac{1}{4}\). Como \(0<\frac{1}{4}<1\), es decrecimiento exponencial.
- \(y=0{,}1\cdot (1{,}1)^x\): \(a=0{,}1\) y \(b=1{,}1\). Como \(1{,}1>1\), es crecimiento exponencial.
Ejercicio 2
Para la función \(f(x)=4\cdot 2^x\), calcula:
- \(f(0)\)
- \(f(1)\)
- \(f(3)\)
- \(f(-1)\)
- \(f(-2)\)
- \[ f(0)=4\cdot 2^0=4\cdot 1=4 \]
- \[ f(1)=4\cdot 2^1=4\cdot 2=8 \]
- \[ f(3)=4\cdot 2^3=4\cdot 8=32 \]
- \[ f(-1)=4\cdot 2^{-1}=4\cdot \frac{1}{2}=2 \]
- \[ f(-2)=4\cdot 2^{-2}=4\cdot \frac{1}{4}=1 \]
Los valores son \(4\), \(8\), \(32\), \(2\) y \(1\), respectivamente.
Ejercicio 3
¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función \(f(x)=2\cdot (0{,}8)^x\)?
La función es exponencial con \(a=2>0\) y \(0<0{,}8<1\).
Su dominio es:
\[ \mathbb{R} \]
Como \(a>0\), todos los valores de la función son positivos. Por lo tanto, su recorrido es:
\[ (0,\infty) \]
Dominio: \(\mathbb{R}\). Recorrido: \((0,\infty)\).
Ejercicio 4
La gráfica de una función exponencial pasa por el punto \((0,3)\) y tiene una base de \(4\). ¿Cuál es la ecuación de la función?
La forma general es:
\[ f(x)=a\cdot b^x \]
Sabemos que la base es \(b=4\).
Además, el punto \((0,3)\) indica el valor de la función cuando \(x=0\):
\[ f(0)=3 \]
Como \(f(0)=a\cdot b^0=a\), entonces:
\[ a=3 \]
La función es \(f(x)=3\cdot 4^x\).
Ejercicio 5
Empareja cada función con su descripción:
- \(f(x)=200\cdot (1{,}02)^x\)
- \(g(x)=10\cdot (0{,}7)^x\)
- \(h(x)=0{,}5\cdot 6^x\)
Descripciones:
- Crecimiento exponencial muy rápido con valor inicial pequeño.
- Crecimiento exponencial muy lento con valor inicial grande.
- Decrecimiento exponencial con valor inicial intermedio.
- I → b: \(f(x)=200\cdot (1{,}02)^x\) tiene valor inicial grande y base cercana a \(1\), por lo que crece lentamente.
- II → c: \(g(x)=10\cdot (0{,}7)^x\) tiene base entre \(0\) y \(1\), por lo que representa decrecimiento.
- III → a: \(h(x)=0{,}5\cdot 6^x\) tiene valor inicial pequeño y base grande, por lo que crece rápidamente.
La correspondencia correcta es I → b, II → c, III → a.
Ejercicio 6
¿Cuál de las siguientes funciones crece más rápido para valores grandes de \(x\)?
- \(f(x)=100\cdot 2^x\)
- \(g(x)=10\cdot 3^x\)
- \(h(x)=1\cdot 4^x\)
Para valores grandes de \(x\), la base de la potencia tiene un rol principal en la rapidez de crecimiento.
Las bases son:
- \(2\) para \(f(x)\),
- \(3\) para \(g(x)\),
- \(4\) para \(h(x)\).
La mayor base es \(4\), por lo que \(h(x)=1\cdot 4^x\) crecerá más rápido a largo plazo.
La respuesta correcta es \(h(x)=1\cdot 4^x\).
Ejercicio 7
Completa la siguiente tabla:
| Función | Crecimiento/Decrecimiento | Valor inicial |
|---|---|---|
| \(f(x)=200\cdot (1{,}02)^x\) | ? | ? |
| \(g(x)=10\cdot (0{,}7)^x\) | ? | ? |
| \(h(x)=0{,}5\cdot 6^x\) | ? | ? |
| Función | Crecimiento/Decrecimiento | Valor inicial |
|---|---|---|
| \(f(x)=200\cdot (1{,}02)^x\) | Crecimiento | \(200\) |
| \(g(x)=10\cdot (0{,}7)^x\) | Decrecimiento | \(10\) |
| \(h(x)=0{,}5\cdot 6^x\) | Crecimiento | \(0{,}5\) |
Ejercicio 8
Para la función \(f(x)=100\cdot (0{,}9)^x\), ¿qué porcentaje de disminución representa la base \(0{,}9\) en cada paso?
Una base de \(0{,}9\) significa que se conserva el \(90\%\) del valor en cada paso.
Entonces, la pérdida porcentual es:
\[ 100\%-90\%=10\% \]
La función representa una disminución del \(10\%\) en cada paso.
Ejercicio 9
Una población de \(50\) bacterias se triplica cada hora. ¿Cuál es la función exponencial que modela esta situación?
- \(f(x)=50\cdot 2^x\)
- \(f(x)=50\cdot 3^x\)
- \(f(x)=3\cdot 50^x\)
- \(f(x)=150^x\)
- \(f(x)=50\cdot x^3\)
El valor inicial es \(50\), por lo que \(a=50\).
Como la población se triplica cada hora, el factor de cambio es \(3\), por lo que \(b=3\).
Entonces:
\[ f(x)=50\cdot 3^x \]
Alternativa correcta: b.
Ejercicio 10
Un automóvil se deprecia, es decir, pierde valor, un \(20\%\) anual. Si su valor inicial es de \(\$20000\), ¿qué función modela esta situación?
- \(f(x)=20000\cdot (1{,}2)^x\)
- \(f(x)=20000\cdot (0{,}8)^x\)
- \(f(x)=20000\cdot (0{,}2)^x\)
- \(f(x)=20000-0{,}2x\)
El valor inicial es \(20000\), por lo que \(a=20000\).
Si pierde el \(20\%\) anual, conserva el \(80\%\) de su valor:
\[ 100\%-20\%=80\%=0{,}8 \]
Por lo tanto, la base es \(0{,}8\).
Alternativa correcta: b, \(f(x)=20000\cdot (0{,}8)^x\).
Ejercicio 11
¿Cuál de las siguientes descripciones corresponde a una gráfica de una función exponencial decreciente?
- Una curva que sube rápidamente de izquierda a derecha.
- Una curva que baja rápidamente de izquierda a derecha.
- Una línea recta que sube de izquierda a derecha.
- Una línea recta que baja de izquierda a derecha.
Una función exponencial decreciente tiene base entre \(0\) y \(1\). Su gráfica es una curva que disminuye a medida que \(x\) aumenta.
Alternativa correcta: b.
Ejercicio 12
¿Cuál es la asíntota horizontal de la función \(f(x)=2\cdot (0{,}5)^x+3\)?
- \(y=0\)
- \(y=2\)
- \(y=3\)
- \(y=0{,}5\)
La función base \(2\cdot (0{,}5)^x\) tiene asíntota horizontal \(y=0\).
Al sumar \(3\), toda la gráfica se desplaza \(3\) unidades hacia arriba. Por lo tanto, la asíntota también se desplaza:
\[ y=3 \]
Alternativa correcta: c.
Ejercicio 13
¿En qué punto la gráfica de \(f(x)=5\cdot 2^x\) intersecta el eje \(Y\)?
- \((0,0)\)
- \((5,0)\)
- \((0,5)\)
- \((2,0)\)
La intersección con el eje \(Y\) ocurre cuando \(x=0\).
\[ f(0)=5\cdot 2^0 \]
\[ f(0)=5\cdot 1=5 \]
Por lo tanto, el punto de intersección es \((0,5)\).
Alternativa correcta: c.
Ejercicio 14
¿Cuál afirmación sobre \(f(x)=a\cdot b^x\), con \(a>0\), \(b>0\) y \(b\neq 1\), es falsa?
- El dominio es todos los reales.
- El recorrido es todos los reales positivos.
- La gráfica siempre intersecta el eje \(Y\).
- La gráfica siempre tiene una asíntota horizontal.
- La gráfica siempre intersecta el eje \(X\).
Para \(a>0\), una función exponencial básica siempre toma valores positivos. Por eso, su gráfica se acerca al eje \(X\), pero no lo intersecta.
Es decir, tiene asíntota horizontal \(y=0\), pero no corta el eje \(X\).
Alternativa falsa: e.
Ejercicio 15
¿Qué tipo de función se ajusta mejor a los datos de la tabla?
| Tiempo (s) | Distancia (m) |
|---|---|
| \(0\) | \(5\) |
| \(1\) | \(7\) |
| \(2\) | \(9\) |
| \(3\) | \(11\) |
- Lineal
- Cuadrática
- Exponencial
Observamos los cambios en la distancia:
\[ 7-5=2,\qquad 9-7=2,\qquad 11-9=2 \]
La distancia aumenta siempre en la misma cantidad: \(2\) metros por segundo.
Alternativa correcta: a. El modelo es lineal.
Ejercicio adicional
Compara los modelos de depreciación de dos máquinas:
\[ f(t)=10000\cdot (0{,}9)^t \]
\[ g(t)=8000\cdot (0{,}95)^t \]
- ¿Cuál era el valor inicial de cada máquina?
- ¿Cuál máquina se deprecia más rápidamente? Explica.
- ¿Qué porcentaje de su valor pierde cada máquina al año?
- En \(f(t)=10000\cdot (0{,}9)^t\), el valor inicial es \(10000\). En \(g(t)=8000\cdot (0{,}95)^t\), el valor inicial es \(8000\).
- La máquina modelada por \(f(t)\) se deprecia más rápidamente, porque su base \(0{,}9\) es menor que \(0{,}95\). Esto significa que conserva una menor proporción de su valor cada año.
- Para \(f(t)\), la base \(0{,}9\) indica que conserva el \(90\%\), por lo tanto pierde el \(10\%\) anual. Para \(g(t)\), la base \(0{,}95\) indica que conserva el \(95\%\), por lo tanto pierde el \(5\%\) anual.