La Función Exponencial
3. Modelado con Funciones Exponenciales (Parte 1)
Modelado con funciones exponenciales (Parte 1)
¿Qué es modelar?
Modelar matemáticamente
Modelar matemáticamente una situación significa encontrar una función que represente su comportamiento. En esta página, trabajaremos con modelos exponenciales.
Un modelo permite entender mejor una situación, hacer predicciones y tomar decisiones a partir de la información disponible.
Pasos para modelar con funciones exponenciales
- Leer y comprender el problema.
- Identificar las variables:
- Variable independiente \(x\): generalmente el tiempo.
- Variable dependiente \(f(x)\) o \(y\): la cantidad que crece o decrece.
- Identificar los parámetros en la fórmula: \[ f(x)=a\cdot b^x \]
- Escribir la ecuación de la función exponencial.
- Usar el modelo para hacer predicciones, evaluando la función.
- Interpretar los resultados en el contexto del problema.
Valor inicial y base
El modelo exponencial \[ f(x)=a\cdot b^x \] depende de dos elementos principales:
- \(a\), valor inicial: corresponde al valor de la cantidad cuando \(x=0\).
- \(b\), base o factor de cambio: indica cómo cambia la cantidad en cada período.
- Si la cantidad crece un \(r\%\), entonces: \[ b=1+\frac{r}{100} \] Por ejemplo, un crecimiento del \(5\%\) corresponde a \(b=1{,}05\).
- Si la cantidad decrece un \(r\%\), entonces: \[ b=1-\frac{r}{100} \] Por ejemplo, una depreciación del \(15\%\) corresponde a \(b=0{,}85\).
Ejemplo resuelto paso a paso
Ejemplo: crecimiento de bacterias
Una población de bacterias se duplica cada \(3\) horas. Inicialmente hay \(500\) bacterias.
1. Variables:
- \(x\): tiempo, medido en horas.
- \(f(x)\): número de bacterias.
2. Parámetros:
- \(a=500\), porque inicialmente hay \(500\) bacterias.
- \(b=2\), porque la población se duplica.
- Como la duplicación ocurre cada \(3\) horas, el número de períodos es \(\frac{x}{3}\).
3. Ecuación:
\[ f(x)=500\cdot 2^{\frac{x}{3}} \]
4. Predicción: ¿cuántas bacterias habrá después de \(12\) horas?
\[ f(12)=500\cdot 2^{\frac{12}{3}} \]
\[ f(12)=500\cdot 2^4 \]
\[ f(12)=500\cdot 16=8000 \]
Después de \(12\) horas habrá \(8000\) bacterias.
Cuidado con el exponente
Un error común es no ajustar el exponente al período de tiempo indicado.
Si el crecimiento o decrecimiento ocurre cada \(k\) unidades de tiempo, el exponente debe ser: \[ \frac{x}{k} \]
En el ejemplo de las bacterias, como se duplican cada \(3\) horas, el exponente es \(\frac{x}{3}\).
Ejercicios
Ejercicio 1
Una inversión de $2000 crece a una tasa de interés compuesto del \(4\%\) anual. Encuentra la función exponencial que modela el valor de la inversión.
El valor inicial es:
\[ a=2000 \]
Como crece un \(4\%\) anual, la base es:
\[ b=1+\frac{4}{100}=1{,}04 \]
Entonces, la función es:
\[ f(x)=2000\cdot (1{,}04)^x \]
La función es \(f(x)=2000\cdot (1{,}04)^x\), donde \(x\) es el tiempo en años.
Ejercicio 2
Un auto nuevo que vale $25000 se deprecia a una tasa del \(15\%\) anual. Encuentra la función que modela el valor del auto después de \(x\) años.
El valor inicial es:
\[ a=25000 \]
Si se deprecia un \(15\%\), conserva el \(85\%\) de su valor:
\[ 100\%-15\%=85\%=0{,}85 \]
Por lo tanto, la base es \(b=0{,}85\).
\[ f(x)=25000\cdot (0{,}85)^x \]
La función es \(f(x)=25000\cdot (0{,}85)^x\).
Ejercicio 3
Una población de aves tiene \(500\) individuos inicialmente y crece un \(8\%\) cada año. Encuentra la función que modela la población después de \(x\) años.
El valor inicial es:
\[ a=500 \]
Como crece un \(8\%\), la base es:
\[ b=1+\frac{8}{100}=1{,}08 \]
Entonces:
\[ f(x)=500\cdot (1{,}08)^x \]
La función es \(f(x)=500\cdot (1{,}08)^x\).
Ejercicio 4
Una sustancia radiactiva se reduce a la mitad cada \(100\) años. Si inicialmente hay \(80\) gramos, encuentra la función que modela la cantidad restante después de \(x\) años.
El valor inicial es:
\[ a=80 \]
Como la sustancia se reduce a la mitad, el factor de cambio es:
\[ b=\frac{1}{2}=0{,}5 \]
Pero este cambio ocurre cada \(100\) años, por lo que el número de períodos es \(\frac{x}{100}\).
Entonces:
\[ f(x)=80\cdot (0{,}5)^{\frac{x}{100}} \]
La función es \(f(x)=80\cdot (0{,}5)^{\frac{x}{100}}\).
Ejercicio 5
Una población de conejos se duplica cada mes. Inicialmente hay \(20\) conejos. ¿Cuántos conejos habrá después de \(6\) meses?
El valor inicial es \(20\) y la base es \(2\), porque la población se duplica.
El modelo es:
\[ f(x)=20\cdot 2^x \]
Evaluamos en \(x=6\):
\[ f(6)=20\cdot 2^6 \]
\[ f(6)=20\cdot 64=1280 \]
Después de \(6\) meses habrá \(1280\) conejos.
Ejercicio 6
Un medicamento se elimina del cuerpo a una tasa del \(25\%\) por hora. Si la dosis inicial es de \(500\) mg, ¿cuántos mg quedarán después de \(4\) horas?
Si se elimina el \(25\%\), queda el \(75\%\) en cada hora:
\[ b=0{,}75 \]
El modelo es:
\[ f(x)=500\cdot (0{,}75)^x \]
Evaluamos en \(x=4\):
\[ f(4)=500\cdot (0{,}75)^4 \]
\[ (0{,}75)^4\approx 0{,}3164 \]
\[ f(4)\approx 500\cdot 0{,}3164=158{,}2 \]
Después de \(4\) horas quedarán aproximadamente \(158{,}2\) mg.
Ejercicio 7
El valor de una máquina se deprecia exponencialmente. Su valor inicial es de $12000 y después de \(3\) años es de $9000. ¿Cuál es la base \(b\) de la función exponencial que modela esta situación?
Usamos el modelo:
\[ f(x)=12000\cdot b^x \]
Sabemos que después de \(3\) años el valor es \(9000\):
\[ 9000=12000\cdot b^3 \]
Dividimos por \(12000\):
\[ \frac{9000}{12000}=b^3 \]
\[ 0{,}75=b^3 \]
Aplicamos raíz cúbica:
\[ b=\sqrt[3]{0{,}75} \]
\[ b\approx 0{,}9086 \]
La base aproximada es \(b\approx 0{,}9086\).
Problemas
Problema 1
Una ciudad tiene una población inicial de \(100000\) habitantes y crece a una tasa del \(3\%\) anual.
- Encuentra la función exponencial que modela la población después de \(x\) años.
- ¿Cuál será la población aproximada después de \(5\) años?
- ¿Y después de \(10\) años?
-
El valor inicial es \(100000\) y la base es:
\[ b=1+\frac{3}{100}=1{,}03 \]
Por lo tanto:
\[ f(x)=100000\cdot (1{,}03)^x \]
-
Después de \(5\) años:
\[ f(5)=100000\cdot (1{,}03)^5 \]
\[ f(5)\approx 115927 \]
-
Después de \(10\) años:
\[ f(10)=100000\cdot (1{,}03)^{10} \]
\[ f(10)\approx 134392 \]
La población aproximada será de \(115927\) habitantes en \(5\) años y \(134392\) habitantes en \(10\) años.
Problema 2
Se invierten $5000 en una cuenta que paga un interés compuesto del \(6\%\) anual. Si no se hacen retiros ni depósitos adicionales, ¿cuánto dinero habrá en la cuenta después de \(7\) años?
El valor inicial es \(5000\) y la base es:
\[ b=1+\frac{6}{100}=1{,}06 \]
El modelo es:
\[ f(x)=5000\cdot (1{,}06)^x \]
Después de \(7\) años:
\[ f(7)=5000\cdot (1{,}06)^7 \]
\[ f(7)\approx 7518{,}15 \]
Después de \(7\) años habrá aproximadamente $7518,15.
Problema 3
La cantidad de un fármaco en el torrente sanguíneo disminuye exponencialmente. Se administra una dosis de \(400\) mg. Después de \(6\) horas, quedan \(200\) mg.
- Encuentra la función exponencial que modela la cantidad de fármaco restante en función del tiempo, en horas.
- ¿Cuántos mg quedarán después de \(12\) horas?
- ¿Y después de \(18\) horas?
-
La cantidad se reduce a la mitad cada \(6\) horas. Por eso, el modelo es:
\[ f(x)=400\cdot (0{,}5)^{\frac{x}{6}} \]
-
Después de \(12\) horas:
\[ f(12)=400\cdot (0{,}5)^{\frac{12}{6}} \]
\[ f(12)=400\cdot (0{,}5)^2=400\cdot 0{,}25=100 \]
Quedarán \(100\) mg.
-
Después de \(18\) horas:
\[ f(18)=400\cdot (0{,}5)^{\frac{18}{6}} \]
\[ f(18)=400\cdot (0{,}5)^3=400\cdot 0{,}125=50 \]
Quedarán \(50\) mg.
El modelo es \(f(x)=400\cdot (0{,}5)^{\frac{x}{6}}\); después de \(12\) horas quedarán \(100\) mg y después de \(18\) horas quedarán \(50\) mg.
Problema 4
Un bosque tenía \(10000\) árboles en el año \(2000\). Debido a la tala ilegal, la cantidad de árboles disminuye un \(4\%\) cada año.
- Encuentra la función exponencial que modela la cantidad de árboles en función del tiempo, en años desde el año \(2000\).
- ¿Cuántos árboles quedarán, aproximadamente, en el año \(2025\)?
-
El valor inicial es \(10000\). Si disminuye un \(4\%\), queda el \(96\%\):
\[ b=0{,}96 \]
Entonces:
\[ f(x)=10000\cdot (0{,}96)^x \]
-
El año \(2025\) corresponde a:
\[ x=2025-2000=25 \]
Evaluamos:
\[ f(25)=10000\cdot (0{,}96)^{25} \]
\[ f(25)\approx 3604 \]
En el año \(2025\) quedarán aproximadamente \(3604\) árboles.
Problema 5
Una población de aves migratorias disminuye a un ritmo exponencial. En el año \(2010\), había \(8000\) aves. En el año \(2020\), había \(5000\) aves.
- Encuentra la función exponencial que modela la población de aves en función del tiempo, en años desde el año \(2010\).
- ¿Cuál es la tasa de decrecimiento anual de la población, en porcentaje?
- ¿Cuál será la población aproximada en el año \(2030\)?
-
La forma general es:
\[ f(x)=a\cdot b^x \]
Como en \(2010\) había \(8000\) aves, se tiene \(a=8000\).
El año \(2020\) corresponde a \(x=10\), entonces:
\[ 5000=8000\cdot b^{10} \]
Dividimos por \(8000\):
\[ \frac{5000}{8000}=b^{10} \]
\[ 0{,}625=b^{10} \]
Aplicamos raíz décima:
\[ b=\sqrt[10]{0{,}625} \]
\[ b\approx 0{,}954 \]
Por lo tanto, un modelo aproximado es:
\[ f(x)=8000\cdot (0{,}954)^x \]
-
La base \(0{,}954\) indica que la población conserva aproximadamente el \(95{,}4\%\) de su tamaño cada año.
Entonces, la tasa de decrecimiento anual es:
\[ 100\%-95{,}4\%=4{,}6\% \]
-
El año \(2030\) corresponde a \(x=20\). Usando el modelo exacto:
\[ f(20)=8000\cdot \left(\sqrt[10]{0{,}625}\right)^{20} \]
\[ f(20)=8000\cdot (0{,}625)^2 \]
\[ f(20)=8000\cdot 0{,}390625=3125 \]
La función aproximada es \(f(x)=8000\cdot (0{,}954)^x\), la tasa de decrecimiento anual es aproximadamente \(4{,}6\%\), y en \(2030\) habrá aproximadamente \(3125\) aves.