La Función Exponencial
4. Modelado con Funciones Exponenciales (Parte 2)
Modelado con funciones exponenciales (Parte 2)
Repaso: pasos para modelar
Recordemos los pasos para modelar con funciones exponenciales:
- Leer y comprender el problema.
- Identificar las variables: \(x\), variable independiente usualmente asociada al tiempo, y \(f(x)\), variable dependiente.
- Identificar los parámetros en \[ f(x)=a\cdot b^x \] donde \(a\) es el valor inicial y \(b\) es la base o factor de cambio.
- Escribir la ecuación que modela la situación.
- Usar el modelo para hacer predicciones.
- Interpretar los resultados en el contexto original.
Problemas de modelado (nivel intermedio y avanzado)
Problema 1: crecimiento poblacional
Una ciudad tiene una población inicial de \(50000\) habitantes. Se estima que la población crece un \(2{,}5\%\) cada año.
- Encuentra la función exponencial que modela la población de la ciudad después de \(x\) años.
- ¿Cuál será la población aproximada después de \(10\) años?
- ¿Después de cuántos años, aproximadamente, la población se duplicará?
-
El valor inicial es:
\[ a=50000 \]
Como la población crece un \(2{,}5\%\) anual, la base es:
\[ b=1+\frac{2{,}5}{100}=1{,}025 \]
Entonces, el modelo es:
\[ f(x)=50000\cdot (1{,}025)^x \]
-
Evaluamos el modelo en \(x=10\):
\[ f(10)=50000\cdot (1{,}025)^{10} \]
\[ f(10)\approx 64004 \]
Después de \(10\) años, la población será aproximadamente de \(64004\) habitantes.
-
Para que la población se duplique, debe llegar a \(100000\):
\[ 100000=50000\cdot (1{,}025)^x \]
Dividimos por \(50000\):
\[ 2=(1{,}025)^x \]
Aplicando logaritmos:
\[ x=\frac{\log(2)}{\log(1{,}025)} \]
\[ x\approx 28{,}07 \]
La población se duplicará aproximadamente después de \(28\) años.
En el gráfico, la población está expresada en miles de habitantes:
El modelo es \(f(x)=50000\cdot (1{,}025)^x\). Después de \(10\) años habrá aproximadamente \(64004\) habitantes, y la población se duplicará en aproximadamente \(28\) años.
Interés compuesto y capitalización
En el problema siguiente aparece la capitalización. Esto significa que el interés se calcula y se suma al capital varias veces al año.
- Se divide la tasa de interés anual \(r\) entre el número de períodos de capitalización \(n\) en un año.
- Se multiplica el exponente por ese mismo número de períodos \(n\).
La fórmula general es:
\[ A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt} \]
Problema 2: inversión con interés compuesto
Se invierten $10000 en una cuenta que paga un interés compuesto del \(6\%\) anual, capitalizado trimestralmente.
- ¿Cuál es la tasa de interés trimestral?
- ¿Cuántos períodos de capitalización hay en un año?
- Encuentra la función que modela el valor de la inversión después de \(x\) años.
- ¿Cuál será el valor de la inversión después de \(5\) años?
-
Como el interés anual es \(6\%\) y se capitaliza trimestralmente, se divide entre \(4\):
\[ \frac{6\%}{4}=1{,}5\% \]
En forma decimal:
\[ 1{,}5\%=0{,}015 \]
-
Hay \(4\) trimestres en un año, por lo tanto hay \(4\) períodos de capitalización al año.
-
El valor inicial es \(10000\). La base por trimestre es:
\[ 1+0{,}015=1{,}015 \]
Como hay \(4x\) trimestres en \(x\) años, la función es:
\[ f(x)=10000\cdot (1{,}015)^{4x} \]
-
Evaluamos en \(x=5\):
\[ f(5)=10000\cdot (1{,}015)^{4\cdot 5} \]
\[ f(5)=10000\cdot (1{,}015)^{20} \]
\[ f(5)\approx 13468{,}55 \]
Después de \(5\) años, el valor de la inversión será aproximadamente $13468,55.
Estrategia clave: cómo encontrar la base \(b\)
En algunos problemas no se entrega directamente la tasa de crecimiento o decrecimiento, pero sí se entregan dos datos: el valor inicial y otro valor después de cierto tiempo.
- Plantea la ecuación \(f(x)=a\cdot b^x\).
- Sustituye el valor inicial \(a\) y el otro dato conocido.
- Despeja \(b\), dividiendo y luego aplicando una raíz.
Problema 3: decaimiento radiactivo
Un científico estudia una muestra de \(200\) gramos de una sustancia radiactiva. Después de \(2\) días, la masa se ha reducido a \(150\) gramos.
- Encuentra la función que modela la masa en función del tiempo, en días.
- ¿Cuál es la vida media de la sustancia?
- ¿Cuánta sustancia quedará después de \(10\) días?
-
La forma general es:
\[ f(x)=a\cdot b^x \]
El valor inicial es \(a=200\). Además, sabemos que \(f(2)=150\):
\[ 150=200\cdot b^2 \]
Dividimos por \(200\):
\[ 0{,}75=b^2 \]
Aplicamos raíz cuadrada:
\[ b=\sqrt{0{,}75} \]
\[ b\approx 0{,}866 \]
Entonces, un modelo aproximado es:
\[ f(x)=200\cdot (0{,}866)^x \]
También se puede escribir de forma exacta como:
\[ f(x)=200\cdot (0{,}75)^{\frac{x}{2}} \]
-
La vida media es el tiempo necesario para que la masa se reduzca a \(100\) gramos:
\[ 100=200\cdot (0{,}75)^{\frac{x}{2}} \]
Dividimos por \(200\):
\[ 0{,}5=(0{,}75)^{\frac{x}{2}} \]
Aplicando logaritmos:
\[ \frac{x}{2}=\frac{\log(0{,}5)}{\log(0{,}75)} \]
\[ x=2\cdot \frac{\log(0{,}5)}{\log(0{,}75)} \]
\[ x\approx 4{,}82 \]
La vida media es aproximadamente \(4{,}82\) días.
-
Evaluamos en \(x=10\):
\[ f(10)=200\cdot (0{,}75)^{\frac{10}{2}} \]
\[ f(10)=200\cdot (0{,}75)^5 \]
\[ f(10)\approx 47{,}46 \]
Después de \(10\) días quedarán aproximadamente \(47{,}46\) gramos.
Problema 4: crecimiento de una red social
El número de usuarios de una red social crece exponencialmente. El 1 de enero había \(10000\) usuarios. El 1 de marzo, \(60\) días después, había \(40000\) usuarios.
- Encuentra la función que modela el número de usuarios en función del tiempo, en días.
- ¿Cuál es la tasa de crecimiento diaria, en porcentaje?
- ¿Cuántos usuarios se esperan para el 1 de junio, \(151\) días después del 1 de enero?
-
La forma general es:
\[ f(x)=a\cdot b^x \]
El valor inicial es \(a=10000\). Además, sabemos que \(f(60)=40000\):
\[ 40000=10000\cdot b^{60} \]
Dividimos por \(10000\):
\[ 4=b^{60} \]
Aplicamos raíz de índice \(60\):
\[ b=\sqrt[60]{4} \]
\[ b\approx 1{,}02337 \]
Entonces, un modelo aproximado es:
\[ f(x)=10000\cdot (1{,}02337)^x \]
También se puede escribir de forma exacta como:
\[ f(x)=10000\cdot 4^{\frac{x}{60}} \]
-
La base \(1{,}02337\) significa que cada día se multiplica por aproximadamente \(1{,}02337\).
Por lo tanto, el crecimiento diario es:
\[ 1{,}02337-1=0{,}02337 \]
\[ 0{,}02337=2{,}337\% \]
La tasa diaria es aproximadamente \(2{,}34\%\).
-
Usamos el modelo exacto en \(x=151\):
\[ f(151)=10000\cdot 4^{\frac{151}{60}} \]
\[ f(151)\approx 327480 \]
Para el 1 de junio se esperan aproximadamente \(327480\) usuarios.
Problema 5: propagación de un rumor
Un rumor se propaga exponencialmente en una escuela. Al principio, solo \(5\) personas lo conocen. Después de \(3\) horas, \(80\) personas lo conocen. Si la escuela tiene \(500\) estudiantes, ¿cuánto tiempo aproximadamente tardará el rumor en llegar a toda la escuela?
La forma general del modelo es:
\[ f(x)=a\cdot b^x \]
El valor inicial es \(a=5\). Además, sabemos que \(f(3)=80\):
\[ 80=5\cdot b^3 \]
Dividimos por \(5\):
\[ 16=b^3 \]
Aplicamos raíz cúbica:
\[ b=\sqrt[3]{16} \]
\[ b\approx 2{,}52 \]
El modelo aproximado es:
\[ f(x)=5\cdot (2{,}52)^x \]
Buscamos el tiempo en que \(f(x)=500\):
\[ 500=5\cdot (2{,}52)^x \]
Dividimos por \(5\):
\[ 100=(2{,}52)^x \]
Aplicamos logaritmos:
\[ x=\frac{\log(100)}{\log(2{,}52)} \]
\[ x\approx 5{,}0 \]
El rumor llegará aproximadamente a toda la escuela después de \(5\) horas, según este modelo.