Crecimiento Exponencial: La Multiplicación Constante

El crecimiento exponencial ocurre cuando una cantidad aumenta en un factor constante en cada período de tiempo. A diferencia del crecimiento lineal, donde se suma una cantidad fija, en el crecimiento exponencial se multiplica por un valor mayor que 1 en cada período.

Tablas para Visualizar el Crecimiento Exponencial

Una forma efectiva de comprender el crecimiento exponencial es observar cómo cambia la variable dependiente a medida que la variable independiente aumenta linealmente. Usemos tablas para ilustrar esto, incluyendo una columna que muestre los cálculos realizados.

Ejemplo 1: Crecimiento de una Población de Bacterias

Supongamos que una población de bacterias se duplica cada hora. Si comenzamos con 10 bacterias:

Tabla:

Observaciones:

• El tiempo (variable independiente) aumenta linealmente de 1 en 1.
• La población de bacterias (variable dependiente) se multiplica por 2 en cada período, mostrando un crecimiento exponencial.
• La columna "Cálculo" muestra cómo se obtiene la población en cada paso, multiplicando la población anterior por 2 o la población inicial por la base (2) elevada a la potencia que representa el tiempo.

Modelando la Función:

Podemos modelar este comportamiento con la siguiente función exponencial:

\[ Población(t) = Población_{inicial} \times (Factor)^{Tiempo} \]

En este caso:

\[ Población(t) = 10 \times (2)^{t} \]

Donde `t` es el tiempo en horas. La base 2 representa el factor de crecimiento por cada unidad de tiempo.

Ejemplo 2: Interés Compuesto

Consideremos una inversión de $1000 que genera un interés compuesto del 10% anual.

Tabla:

Observaciones:

• El tiempo (variable independiente) aumenta linealmente de 1 en 1.
• El valor de la inversión (variable dependiente) se multiplica por 1.1 (1 + 0.10) en cada período, mostrando un crecimiento exponencial.
• La columna "Cálculo" muestra cómo se obtiene el valor en cada paso, multiplicando el valor anterior por 1.1 o el valor inicial por la base (1.1) elevada a la potencia que representa el tiempo.

Modelando la Función:

La función que describe este crecimiento es:

\[ Valor(t) = Valor_{inicial} \times (1 + Tasa)^{Tiempo} \]

En este caso:

\[ Valor(t) = 1000 \times (1.1)^{t} \]

Donde `t` es el tiempo en años. La base 1.1 representa el factor por el que se multiplica el valor de la inversión cada año.

Ejemplo 3: Crecimiento de una Inversión con Interés Compuesto Trimestral

Consideremos una inversión de $500 que genera un interés compuesto del 8% anual, pero que se capitaliza trimestralmente (cada 3 meses).

Tabla:

Observaciones:

• El tiempo (variable independiente) aumenta linealmente de 1 en 1, representando trimestres.
• El valor de la inversión (variable dependiente) se multiplica por 1.02 (1 + 0.08/4) en cada período, mostrando un crecimiento exponencial. El interés anual se divide entre 4 porque hay 4 trimestres en un año.
• La columna "Cálculo" muestra cómo se obtiene el valor en cada paso, multiplicando el valor anterior por 1.02 o el valor inicial por la base (1.02) elevada a la potencia que representa el número de trimestres.

Modelando la Función:

La función que describe este crecimiento es:

\[ Valor(t) = Valor_{inicial} \times (1 + \frac{Tasa}{n})^{n \times Tiempo} \]

En este caso:

\[ Valor(t) = 500 \times (1 + \frac{0.08}{4})^{4 \times t} = 500 \times (1.02)^{4t} \]

Donde `t` es el tiempo en años y `n` es la cantidad de periodos de capitalización por año (en este caso, 4). La base 1.02 representa el factor por el que se multiplica el valor de la inversión cada trimestre.

Ejercicios con tabla:

1. Una población de conejos se triplica cada año. Si inicialmente hay 5 conejos, completa la siguiente tabla y escribe la función que modela la población en función del tiempo.

2. Una inversión de 2000 genera un interés compuesto del 6% anual\. Completa la siguiente tabla y escribe la función que modela el valor de la inversión en función del tiempo\.

Ejercicios sin tabla:

1. Una población de insectos crece a una tasa del 15% mensual. Si inicialmente hay 500 insectos, ¿cuántos habrá después de 4 meses?

2. Un banco ofrece una tasa de interés compuesto del 4% anual para depósitos a plazo fijo. Si se depositan $3000, ¿cuánto dinero habrá en la cuenta después de 5 años?

3. El valor de una obra de arte se incrementa en un 7% cada año. Si actualmente la obra vale $8,000, ¿cuál será su valor estimado dentro de 6 años?

4. Un cultivo de células crece a una tasa del 25% cada 2 horas. Si inicialmente hay 100 células, ¿cuántas habrá después de 12 horas?

5. Una inversión de $5000 se duplica en valor en 10 años debido al interés compuesto. ¿Cuál es la tasa de interés anual?

6. Una población de peces en un lago crece a una tasa constante. Si después de 5 años la población se ha multiplicado por 3.125, ¿cuál es la tasa de crecimiento anual?

7. Si una inversión de $4000 crece a $5324 en 3 años debido al interés compuesto, ¿cuál es la tasa de interés anual?

8. Una colonia de bacterias se triplica en tamaño cada 5 horas. Si inicialmente hay 1000 bacterias, ¿cuánto tiempo tardará la colonia en alcanzar 27,000 bacterias?

9. Una inversión con interés compuesto tiene una tasa anual del 8%. Si el valor de la inversión después de 5 años es de $5877.31, ¿cuál fue la inversión inicial?

10. Una población de animales en una reserva natural crece a una tasa constante. Si la población se duplica en 7 años y actualmente hay 150 animales, ¿cuántos años tomará para que la población alcance los 1200 animales?