Nivelacion - Funciones y Conceptos Clave
3. Introducción a las Tasas de Cambio
Introducción a las tasas de cambio
Cambio constante vs. cambio variable
En el mundo real, muchas cantidades cambian. Algunas lo hacen a un ritmo constante, como un auto que se mueve a velocidad fija, mientras que otras lo hacen a un ritmo variable, como el crecimiento de una planta.
Entender esta diferencia es importante para el modelado matemático, porque permite reconocer cuándo una situación puede representarse con una función lineal y cuándo requiere otro tipo de modelo.
Ejemplo de cambio constante: función lineal
Un automóvil viaja a \(60\) km/h. Cada hora, la distancia aumenta en exactamente \(60\) km.
Por ejemplo:
| Tiempo |
Distancia (km) |
|---|---|
| \(0\) | \(0\) |
| \(1\) | \(60\) |
| \(2\) | \(120\) |
| \(3\) | \(180\) |
Como la distancia aumenta siempre en la misma cantidad por cada hora, el cambio es constante y su gráfico corresponde a una recta.
Ejemplo de cambio variable: función no lineal
El crecimiento de una planta puede ser variable. Por ejemplo, puede crecer \(1\) cm el primer día, \(2\) cm el segundo día y \(3\) cm el tercer día.
En este caso, el ritmo de crecimiento no es el mismo cada día.
Como la cantidad de cambio no se mantiene constante, el fenómeno no se modela con una función lineal simple. Su gráfico puede tener forma curva.
Tasa de cambio promedio
La tasa de cambio promedio mide cuánto cambia una cantidad respecto de otra en un intervalo determinado.
Si se consideran dos puntos \((x_1,y_1)\) y \((x_2,y_2)\), se calcula como:
Interpretación gráfica
En un gráfico, la tasa de cambio promedio entre dos puntos \((x_1,y_1)\) y \((x_2,y_2)\) corresponde a la pendiente de la recta secante que une esos dos puntos.
- Tasa positiva: la recta secante sube, por lo que la función crece en ese intervalo.
- Tasa negativa: la recta secante baja, por lo que la función decrece en ese intervalo.
- Tasa cero: la recta secante es horizontal, por lo que no hay cambio neto en ese intervalo.
Ejercicios
Ejercicio 1
La tabla muestra la distancia recorrida por un ciclista:
| Tiempo (min) | Distancia (m) |
|---|---|
| \(0\) | \(0\) |
| \(10\) | \(500\) |
| \(20\) | \(1000\) |
| \(30\) | \(1500\) |
- Calcula la tasa de cambio promedio entre \(0\) y \(10\) minutos.
- Calcula la tasa de cambio promedio entre \(10\) y \(20\) minutos.
- ¿La tasa de cambio es constante? ¿Qué tipo de función representa?
-
Entre \(0\) y \(10\) minutos:
\[ \frac{500-0}{10-0} = \frac{500}{10} = 50 \]
La tasa de cambio promedio es \(50\) m/min.
-
Entre \(10\) y \(20\) minutos:
\[ \frac{1000-500}{20-10} = \frac{500}{10} = 50 \]
La tasa de cambio promedio es \(50\) m/min.
-
La tasa de cambio es la misma en ambos intervalos.
Sí, la tasa de cambio es constante. La situación representa una función lineal.
Ejercicio 2
La tabla muestra la temperatura de una taza de café:
| Tiempo (min) | Temperatura (°C) |
|---|---|
| \(0\) | \(90\) |
| \(5\) | \(70\) |
| \(10\) | \(55\) |
| \(15\) | \(45\) |
- Calcula la tasa de cambio promedio entre \(0\) y \(5\) minutos.
- Calcula la tasa de cambio promedio entre \(10\) y \(15\) minutos.
- ¿La tasa de cambio es constante?
-
Entre \(0\) y \(5\) minutos:
\[ \frac{70-90}{5-0} = \frac{-20}{5} = -4 \]
La tasa de cambio promedio es \(-4\) °C/min.
-
Entre \(10\) y \(15\) minutos:
\[ \frac{45-55}{15-10} = \frac{-10}{5} = -2 \]
La tasa de cambio promedio es \(-2\) °C/min.
-
Las tasas obtenidas son distintas: \(-4\) °C/min y \(-2\) °C/min.
No, la tasa de cambio no es constante. El café se enfría, pero cada vez más lentamente, por lo que corresponde a una situación no lineal.
Ejercicio 3
Un gráfico muestra la altura de un cohete de juguete. En el segundo \(1\) está a \(10\) metros, en el segundo \(3\) alcanza su altura máxima de \(50\) metros y, luego, en el segundo \(5\), cae de vuelta al suelo.
- ¿Cuál es la tasa de cambio promedio durante el ascenso, entre \(t=1\) y \(t=3\)?
- ¿Cuál es la tasa de cambio promedio durante el descenso, entre \(t=3\) y \(t=5\)?
-
Durante el ascenso se consideran los puntos \((1,10)\) y \((3,50)\):
\[ \frac{50-10}{3-1} = \frac{40}{2} = 20 \]
La tasa de cambio promedio durante el ascenso es \(20\) m/s.
-
Durante el descenso se consideran los puntos \((3,50)\) y \((5,0)\):
\[ \frac{0-50}{5-3} = \frac{-50}{2} = -25 \]
La tasa de cambio promedio durante el descenso es \(-25\) m/s. El signo negativo indica que la altura disminuye.