Nivelacion - Funciones y Conceptos Clave
4. Ejercicios de Selección Múltiple - Repaso de Funciones
Ejercicios de selección múltiple - Repaso de funciones
¡A probar tus conocimientos!
Has llegado al final de la unidad. Es hora de repasar los conceptos básicos de funciones, potencias y tasas de cambio. Lee cada pregunta con calma y elige la alternativa que consideres correcta.
Mucho éxito.
Ejercicio 1
¿Cuál de las siguientes relaciones no es una función?
- A cada estudiante se le asigna su promedio final.
- A cada número entero se le asigna su sucesor.
- A cada persona se le asigna su color favorito.
- A cada rectángulo se le asigna su área.
- A cada número real se le asigna su valor absoluto y su opuesto.
Una relación es función si cada entrada tiene una única salida.
En la alternativa e), a un mismo número real se le asignan dos valores: su valor absoluto y su opuesto.
Por ejemplo, para \(5\):
\[ |5|=5 \qquad\text{y}\qquad -5=-5 \]
La misma entrada tendría dos salidas distintas.
Alternativa correcta: e.
Ejercicio 2
Si \(f(x)=2x-3\), ¿cuál es el valor de \(f(-1)\)?
- \(-5\)
- \(-1\)
- \(1\)
- \(5\)
- \(-6\)
Reemplazamos \(x=-1\) en la función:
\[ f(-1)=2(-1)-3 \]
\[ f(-1)=-2-3=-5 \]
Alternativa correcta: a.
Ejercicio 3
¿Cuál es el dominio de la función \(f(x)=\sqrt{x-2}\)?
- Todos los números reales.
- \(x>2\)
- \(x\geq 2\)
- \(x\leq 2\)
- \(x\neq 2\)
Para que una raíz cuadrada esté definida en los números reales, el radicando debe ser mayor o igual que cero.
\[ x-2\geq 0 \]
Despejamos:
\[ x\geq 2 \]
Alternativa correcta: c.
Ejercicio 4
¿Cuál es el recorrido de la función \(f(x)=x^2+1\)?
- Todos los números reales.
- Reales positivos.
- Reales no negativos.
- \(y\geq 1\)
- \(y\leq 1\)
Para todo número real \(x\), se cumple que:
\[ x^2\geq 0 \]
Entonces:
\[ x^2+1\geq 1 \]
El valor mínimo de la función es \(1\), cuando \(x=0\).
Alternativa correcta: d.
Ejercicio 5
Simplifica \(3^2\cdot 3^4\cdot 3^{-3}\).
- \(3^{-24}\)
- \(3^3\)
- \(3^9\)
- \(3^{-1}\)
- \(27^3\)
Como las potencias tienen igual base, sumamos los exponentes:
\[ 3^2\cdot 3^4\cdot 3^{-3}=3^{2+4+(-3)} \]
\[ 2+4-3=3 \]
\[ 3^2\cdot 3^4\cdot 3^{-3}=3^3 \]
Alternativa correcta: b.
Ejercicio 6
Simplifica \(\dfrac{x^8}{x^{-2}}\), con \(x\neq 0\).
- \(x^6\)
- \(x^{10}\)
- \(x^{-6}\)
- \(\dfrac{1}{x^6}\)
- \(\dfrac{1}{x^{10}}\)
En un cociente de potencias de igual base, se restan los exponentes:
\[ \frac{x^8}{x^{-2}}=x^{8-(-2)} \]
\[ 8-(-2)=10 \]
\[ \frac{x^8}{x^{-2}}=x^{10} \]
Alternativa correcta: b.
Ejercicio 7
Simplifica \((2a^3b^{-2})^3\).
- \(2a^6b^{-5}\)
- \(8a^9b^{-6}\)
- \(6a^6b^{-6}\)
- \(8a^6b^{-5}\)
- \(6a^9b^{-6}\)
Elevamos cada factor a la potencia \(3\):
\[ (2a^3b^{-2})^3=2^3(a^3)^3(b^{-2})^3 \]
Aplicamos potencia de una potencia:
\[ 2^3a^{3\cdot 3}b^{-2\cdot 3} \]
\[ 8a^9b^{-6} \]
Alternativa correcta: b.
Ejercicio 8
Expresa \(\sqrt[4]{x^3}\) usando un exponente fraccionario.
- \(x^{\frac{4}{3}}\)
- \(x^{\frac{3}{4}}\)
- \(x^1\)
- \(x^7\)
- \(4x^3\)
Una raíz puede escribirse como exponente fraccionario:
\[ \sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}} \]
En este caso, el exponente del radicando es \(3\) y el índice es \(4\):
\[ \sqrt[4]{x^3}=x^{\frac{3}{4}} \]
Alternativa correcta: b.
Ejercicio 9
Simplifica \(25^{-\frac{1}{2}}\).
- \(-5\)
- \(5\)
- \(\frac{1}{5}\)
- \(-\frac{1}{5}\)
- \(25\)
El exponente negativo indica inverso:
\[ 25^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{25^{\frac{1}{2}}} \]
El exponente \(\frac{1}{2}\) corresponde a raíz cuadrada:
\[ \frac{1}{25^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{25}} \]
\[ \frac{1}{\sqrt{25}}=\frac{1}{5} \]
Alternativa correcta: c.
Ejercicio 10
¿Cuál es la tasa de cambio promedio de \(f(x)=x^2\) entre \(x=1\) y \(x=3\)?
- \(1\)
- \(2\)
- \(3\)
- \(4\)
- \(5\)
La tasa de cambio promedio es:
\[ \frac{f(3)-f(1)}{3-1} \]
Calculamos:
\[ f(3)=3^2=9 \qquad\text{y}\qquad f(1)=1^2=1 \]
Entonces:
\[ \frac{9-1}{3-1} = \frac{8}{2} = 4 \]
Alternativa correcta: d.
Ejercicio 11
Según la tabla, ¿cuál es la tasa de cambio promedio de la población entre \(2005\) y \(2015\)?
| Año | Población |
|---|---|
| \(2000\) | \(10000\) |
| \(2005\) | \(12000\) |
| \(2010\) | \(14000\) |
| \(2015\) | \(16000\) |
- \(200\) hab/año
- \(400\) hab/año
- \(1000\) hab/año
- \(2000\) hab/año
- \(4000\) hab/año
Entre \(2005\) y \(2015\), la población cambia de \(12000\) a \(16000\).
Aplicamos la fórmula de tasa de cambio promedio:
\[ \frac{16000-12000}{2015-2005} \]
\[ \frac{4000}{10}=400 \]
Alternativa correcta: b.
Ejercicio 12
Si la tasa de cambio promedio de una función entre dos puntos es cero, ¿qué se puede concluir?
- La función es creciente.
- La función es decreciente.
- La función es constante.
- La función tiene el mismo valor en ambos puntos.
- No se puede concluir nada.
La tasa de cambio promedio se calcula como:
\[ \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \]
Si esta tasa es \(0\), entonces el numerador debe ser \(0\):
\[ y_2-y_1=0 \]
Por lo tanto:
\[ y_2=y_1 \]
Esto significa que la función tiene el mismo valor en ambos puntos. No necesariamente significa que sea constante en todo el intervalo.
Alternativa correcta: d.
Ejercicio 13
¿Qué gráfica representa una función con tasa de cambio promedio positiva entre los puntos A y B?
- Una donde B está más arriba y a la derecha que A.
- Una donde B está más abajo y a la derecha que A.
- Una donde B está a la misma altura que A.
- Una donde B está a la izquierda de A.
Una tasa de cambio promedio positiva significa que, al aumentar \(x\), también aumenta \(y\) en promedio.
Gráficamente, esto se observa cuando el punto B está más arriba que A y hacia la derecha de A.
Alternativa correcta: a.
Ejercicio 14
La tasa de cambio promedio de \(f(x)\) entre \(x=a\) y \(x=b\) es \(5\). Si \(f(a)=10\), ¿cuál es el valor de \(f(b)\)?
- No se puede determinar.
- \(15\)
- \(5\)
- \(10+5(b-a)\)
- \(10+5(a-b)\)
Usamos la fórmula de tasa de cambio promedio:
\[ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=5 \]
Como \(f(a)=10\), reemplazamos:
\[ \frac{f(b)-10}{b-a}=5 \]
Multiplicamos por \(b-a\):
\[ f(b)-10=5(b-a) \]
Despejamos \(f(b)\):
\[ f(b)=10+5(b-a) \]
Alternativa correcta: d.
Ejercicio 15
¿Cuál de las siguientes opciones describe una función cuadrática?
- \(f(x)=5x\)
- \(f(x)=5^x\)
- \(f(x)=x^5\)
- \(f(x)=5x^2+3x-1\)
- \(f(x)=\log(x)\)
Una función cuadrática tiene la forma general:
\[ f(x)=ax^2+bx+c \qquad\text{con}\qquad a\neq 0 \]
La alternativa d) tiene término cuadrático \(5x^2\) y su mayor exponente es \(2\).
Alternativa correcta: d.