Capitulo 2 Tipos de crecimiento, lineal y exponencial
3. Decrecimiento Exponencial: La Disminución Multiplicativa
Decrecimiento Exponencial: La Disminución Multiplicativa
El decrecimiento exponencial ocurre cuando una cantidad disminuye en un factor constante en cada período de tiempo. A diferencia del decrecimiento lineal, donde se resta una cantidad fija, en el decrecimiento exponencial se multiplica por un valor entre 0 y 1 en cada período.
Tablas para Visualizar el Decrecimiento Exponencial
Una forma efectiva de comprender el decrecimiento exponencial es observar cómo cambia la variable dependiente a medida que la variable independiente aumenta linealmente. Usemos tablas para ilustrar esto, incluyendo una columna que muestre los cálculos realizados.
Ejemplo 1: Desintegración Radioactiva
Supongamos que tenemos 64 gramos de una sustancia radioactiva con una vida media de 1 hora. Esto significa que cada hora, la cantidad de sustancia se reduce a la mitad.
Tabla:
| Tiempo (horas) | Cálculo | Cantidad (gramos) |
|---|---|---|
| 0 | - | 64 |
| 1 | 64 * 0.5 | 32 |
| 2 | 32 * 0.5 = 64 * 0.5 * 0.5 | 16 |
| 3 | 16 * 0.5 = 64 * 0.5 * 0.5 * 0.5 | 8 |
| 4 | 8 * 0.5 = 64 * 0.5 * 0.5 * 0.5 * 0.5 | 4 |
| 5 | 4 * 0.5 = 64 * (0.5)^5 | 2 |
| 6 | 2 * 0.5 = 64 * (0.5)^6 | 1 |
Observaciones:
- El tiempo (variable independiente) aumenta linealmente de 1 en 1.
- La cantidad de sustancia (variable dependiente) se multiplica por 0.5 (o 1/2) en cada período, mostrando un decrecimiento exponencial.
- La columna "Cálculo" muestra cómo se obtiene la cantidad en cada paso, multiplicando la cantidad anterior por 0.5 o la cantidad inicial por la base (0.5) elevada a la potencia que representa el tiempo.
Modelando la Función:
Podemos modelar este comportamiento con la siguiente función exponencial:
\[ Cantidad(t) = Cantidad_{inicial} \times (Factor)^{Tiempo} \]
En este caso:
\[ Cantidad(t) = 64 \times (0.5)^{t} \]
o lo que es igual:
\[ Cantidad(t) = 64 \times (\frac{1}{2})^{t} \]
Donde `t` es el tiempo en horas. La base 0.5 (o 1/2) representa el factor de disminución por cada unidad de tiempo.
Ejemplo 2: Depreciación de un Activo
Consideremos un automóvil que se deprecia un 20% de su valor cada año. Supongamos que el valor inicial del auto es de $30,000.
Tabla:
| Tiempo (años) | Cálculo | Valor del Auto ($) |
|---|---|---|
| 0 | - | 30,000 |
| 1 | 30000 * 0.8 | 24,000 |
| 2 | 24000 * 0.8 = 30000 * 0.8 * 0.8 | 19,200 |
| 3 | 19200 * 0.8 = 30000 * 0.8 * 0.8 * 0.8 | 15,360 |
| 4 | 15360 * 0.8 = 30000 * (0.8)^4 | 12,288 |
Observaciones:
- El tiempo (variable independiente) aumenta linealmente de 1 en 1.
- El valor del auto (variable dependiente) se multiplica por 0.8 (1 - 0.20) en cada período, mostrando un decrecimiento exponencial.
- La columna "Cálculo" muestra cómo se obtiene el valor en cada paso, multiplicando el valor anterior por 0.8 o el valor inicial por la base (0.8) elevada a la potencia que representa el tiempo.
Modelando la Función:
La función que describe este decrecimiento es:
\[ Valor(t) = Valor_{inicial} \times (1 - Tasa)^{Tiempo} \]
En este caso:
\[ Valor(t) = 30000 \times (0.8)^{t} \]
Donde `t` es el tiempo en años. La base 0.8 representa el factor por el que se multiplica el valor del auto cada año.
Ejemplo 3: Enfriamiento de un Líquido
Supongamos que una taza de café caliente se enfría a una tasa del 15% por cada 5 minutos.
Tabla:
| Tiempo (minutos) | Cálculo | Temperatura (°C) |
|---|---|---|
| 0 | - | 90 |
| 5 | 90 * 0.85 | 76.5 |
| 10 | 76.5 * 0.85 = 90 * 0.85 * 0.85 | 65.025 |
| 15 | 65.025 * 0.85 = 90 * 0.85 * 0.85 * 0.85 | 55.27125 |
| 20 | 55.27125 * 0.85 = 90 * (0.85)^4 | 46.9805625 |
Observaciones:
- El tiempo (variable independiente) aumenta linealmente de 5 en 5.
- La temperatura (variable dependiente) se multiplica aproximadamente por 0.85 (1 - 0.15) en cada período de 5 minutos, indicando un decrecimiento exponencial.
- La columna "Cálculo" muestra cómo se obtiene la temperatura en cada paso, multiplicando la temperatura anterior por 0.85 o la temperatura inicial por la base (0.85) elevada a la potencia que representa el tiempo dividido por el intervalo de tiempo (5 minutos).
Modelando la Función:
La función que modela este enfriamiento es:
\[ Temperatura(t) = Temperatura_{inicial} \times (1 - Tasa)^{\frac{Tiempo}{Intervalo}} \]
En este caso:
\[ Temperatura(t) = 90 \times (0.85)^{\frac{t}{5}} \]
Donde `t` es el tiempo en minutos. La base 0.85 representa el factor de disminución de la temperatura cada 5 minutos.
Ejercicios con tabla:
1. Una población de bacterias decrece a la mitad cada hora. Si inicialmente hay 100,000 bacterias, completa la siguiente tabla y escribe la función que modela la población en función del tiempo.
| Tiempo (horas) | Cálculo | Población de Bacterias |
|---|---|---|
| 0 | ||
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 |
2. Un medicamento en el torrente sanguíneo se reduce en un 25% cada 4 horas. Si se administra una dosis de 50 mg, completa la siguiente tabla y escribe la función que modela la cantidad de medicamento en función del tiempo.
| Tiempo (horas) | Cálculo | Cantidad de Medicamento (mg) |
|---|---|---|
| 0 | ||
| 4 | ||
| 8 | ||
| 12 |
Ejercicios sin tabla:
1. La vida media de un isótopo radiactivo es de 8 horas. Si inicialmente hay 120 gramos del isótopo, ¿cuántos gramos quedarán después de 24 horas?
2. Un medicamento se elimina del cuerpo a una tasa del 20% cada hora. Si se administra una dosis de 10 mg, ¿cuántos miligramos quedarán en el cuerpo después de 5 horas?
3. Una población de aves disminuye un 5% cada año. Si actualmente hay 2000 aves, ¿cuántas habrá aproximadamente después de 7 años?
4. Un activo se deprecia a una tasa del 15% anual. Si su valor inicial era de $50,000, ¿cuál será su valor después de 4 años?
5. Si después de 3 años, el valor de un activo es de $15,360 y se sabe que se deprecia exponencialmente a una tasa del 20% anual, ¿cuál era su valor inicial?
6. Una sustancia radioactiva se desintegra a la mitad cada 10 años. Si después de 50 años quedan 2 gramos de la sustancia, ¿cuántos gramos había inicialmente?
7. Una población de bacterias decrece exponencialmente. Si inicialmente había 50,000 bacterias y después de 3 horas quedan 6,250, ¿cuál es el factor de decrecimiento por hora?
8. Un medicamento se elimina del cuerpo a una tasa constante. Si después de 4 horas queda el 40.96% de la dosis inicial, ¿cuál es la tasa de eliminación por hora?
9. Un material radioactivo tiene una vida media de 20 minutos. Si inicialmente hay 80 gramos del material, ¿cuánto tiempo tardará en reducirse a 5 gramos?
10. La depreciación de un activo es del 10% anual. Si después de un cierto número de años el valor del activo se ha reducido a aproximadamente el 34.87% de su valor original, ¿cuántos años han pasado?