Libro de los números complejos
2. Guía de Práctica: Números Imaginarios
Objetivos
- Aplicar el ciclo de potencias de \(i\) en exponentes positivos y negativos.
- Simplificar raíces cuadradas de números negativos.
- Operar expresiones con números imaginarios puros.
- Racionalizar expresiones con denominadores imaginarios.
- Resolver ecuaciones sencillas con soluciones imaginarias puras.
Recordatorio
La unidad imaginaria cumple:
\[ i^2=-1 \]
Sus potencias se repiten en ciclos de cuatro:
\[ i^1=i,\qquad i^2=-1,\qquad i^3=-i,\qquad i^4=1 \]
Además, si \(a>0\), entonces:
\[ \sqrt{-a}=\sqrt{a}\,i \]
1. Potencias de \(i\)
Ejercicio 1: potencias con exponentes positivos
Simplifica:
- \(i^7\)
- \(i^{18}\)
- \(i^{36}\)
- \(i^{37}\)
- \(i^{122}\)
- \(i^{999}\)
- \(i^{2025}\)
- \(i^{10^{44}}\)
Para simplificar \(i^n\), dividimos el exponente por \(4\) y observamos el resto.
-
\[ 7=4\cdot 1+3 \]
Resto \(3\), entonces:
\[ i^7=i^3=-i \]
-
\[ 18=4\cdot 4+2 \]
Resto \(2\), entonces:
\[ i^{18}=i^2=-1 \]
-
\[ 36=4\cdot 9+0 \]
Resto \(0\), entonces:
\[ i^{36}=1 \]
-
\[ 37=4\cdot 9+1 \]
Resto \(1\), entonces:
\[ i^{37}=i \]
-
\[ 122=4\cdot 30+2 \]
Resto \(2\), entonces:
\[ i^{122}=-1 \]
-
\[ 999=4\cdot 249+3 \]
Resto \(3\), entonces:
\[ i^{999}=-i \]
-
\[ 2025=4\cdot 506+1 \]
Resto \(1\), entonces:
\[ i^{2025}=i \]
-
Como \(10^{44}\) termina en dos ceros, es divisible por \(4\).
Por lo tanto, el resto al dividir \(10^{44}\) por \(4\) es \(0\), y:
\[ i^{10^{44}}=1 \]
Ejercicio 2: potencias con exponentes negativos
Simplifica:
- \(i^{-1}\)
- \(i^{-2}\)
- \(i^{-3}\)
- \(i^{-7}\)
- \(i^{-12}\)
- \(i^{-25}\)
- \(i^{-50}\)
- \(i^{-101}\)
Para exponentes negativos, podemos usar:
\[ i^{-n}=\frac{1}{i^n} \]
También podemos reducir el exponente usando el ciclo de período \(4\).
-
\[ i^{-1}=\frac{1}{i} \]
Racionalizamos:
\[ \frac{1}{i}\cdot\frac{i}{i}=\frac{i}{i^2}=\frac{i}{-1}=-i \]
\[ i^{-1}=-i \]
-
\[ i^{-2}=\frac{1}{i^2}=\frac{1}{-1}=-1 \]
-
\[ i^{-3}=\frac{1}{i^3} \]
Como \(i^3=-i\), entonces:
\[ i^{-3}=\frac{1}{-i}=i \]
-
Como \(-7=4\cdot(-2)+1\), el resto equivalente es \(1\):
\[ i^{-7}=i \]
-
Como \(-12=4\cdot(-3)+0\), el resto es \(0\):
\[ i^{-12}=1 \]
-
Como \(-25=4\cdot(-7)+3\), el resto equivalente es \(3\):
\[ i^{-25}=i^3=-i \]
-
Como \(-50=4\cdot(-13)+2\), el resto equivalente es \(2\):
\[ i^{-50}=i^2=-1 \]
-
Como \(-101=4\cdot(-26)+3\), el resto equivalente es \(3\):
\[ i^{-101}=i^3=-i \]
2. Raíces cuadradas negativas
Ejercicio 3: simplificar radicales negativos
Expresa en términos de \(i\) y simplifica cuando sea posible:
- \(\sqrt{-72}\)
- \(\sqrt{-48}\)
- \(\sqrt{-147}\)
- \(\sqrt{-200}\)
- \(\sqrt{-\frac{25}{9}}\)
- \(\sqrt{-\frac{3}{4}}\)
Usamos:
\[ \sqrt{-a}=\sqrt{a}\,i \]
-
\[ \sqrt{-72}=\sqrt{72}\,i \]
\[ \sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2} \]
\[ \sqrt{-72}=6\sqrt{2}i \]
-
\[ \sqrt{-48}=\sqrt{48}\,i \]
\[ \sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3} \]
\[ \sqrt{-48}=4\sqrt{3}i \]
-
\[ \sqrt{-147}=\sqrt{147}\,i \]
\[ \sqrt{147}=\sqrt{49\cdot 3}=7\sqrt{3} \]
\[ \sqrt{-147}=7\sqrt{3}i \]
-
\[ \sqrt{-200}=\sqrt{200}\,i \]
\[ \sqrt{200}=\sqrt{100\cdot 2}=10\sqrt{2} \]
\[ \sqrt{-200}=10\sqrt{2}i \]
-
\[ \sqrt{-\frac{25}{9}}=\sqrt{\frac{25}{9}}\,i \]
\[ \sqrt{\frac{25}{9}}=\frac{5}{3} \]
\[ \sqrt{-\frac{25}{9}}=\frac{5}{3}i \]
-
\[ \sqrt{-\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{3}{4}}\,i \]
\[ \sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \sqrt{-\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}i \]
Ejercicio 4: distinguir signos y paréntesis
Simplifica cuidadosamente:
- \(\sqrt{(-3)^2}\)
- \(\sqrt{-3^2}\)
- \(\sqrt{(-2)^4}\)
- \(\sqrt{-2^4}\)
- \(\sqrt{-(5^2)}\)
- \(\sqrt{(-5)^2}\)
Cuidado con los paréntesis
Cuando no hay paréntesis, la potencia se calcula antes que el signo negativo.
-
\[ (-3)^2=9 \]
\[ \sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3 \]
-
\[ -3^2=-(3^2)=-9 \]
\[ \sqrt{-3^2}=\sqrt{-9}=3i \]
-
\[ (-2)^4=16 \]
\[ \sqrt{(-2)^4}=\sqrt{16}=4 \]
-
\[ -2^4=-(2^4)=-16 \]
\[ \sqrt{-2^4}=\sqrt{-16}=4i \]
-
\[ -(5^2)=-25 \]
\[ \sqrt{-(5^2)}=\sqrt{-25}=5i \]
-
\[ (-5)^2=25 \]
\[ \sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5 \]
3. Operaciones con números imaginarios puros
Ejercicio 5: suma, resta, multiplicación y división
Simplifica:
- \(8i-13i+4i\)
- \((-6i)+15i-2i\)
- \((4i)(-7i)\)
- \((-3i)(-5i)\)
- \(\dfrac{18i}{-6i}\)
- \(\dfrac{-24i}{8i}\)
-
Sumamos los coeficientes de \(i\):
\[ 8i-13i+4i=(8-13+4)i=-i \]
-
\[ (-6i)+15i-2i=(-6+15-2)i=7i \]
-
\[ (4i)(-7i)=-28i^2 \]
Como \(i^2=-1\):
\[ -28i^2=-28(-1)=28 \]
-
\[ (-3i)(-5i)=15i^2 \]
\[ 15i^2=15(-1)=-15 \]
-
\[ \frac{18i}{-6i}=-3 \]
Se puede simplificar \(i\), porque \(i\neq 0\).
-
\[ \frac{-24i}{8i}=-3 \]
Se puede simplificar \(i\), porque \(i\neq 0\).
Ejercicio 6: operaciones combinadas con \(i\)
Simplifica:
- \(i^{15}+i^{-2}\)
- \((i^7)(i^4)\)
- \(i^{30}-i^{29}\)
- \(\dfrac{i^{12}}{i^5}\)
- \((2i)(3i)(4i)\)
- \((5i)^2-3i^4\)
-
Simplificamos cada potencia:
\[ i^{15}=i^3=-i \]
\[ i^{-2}=-1 \]
Entonces:
\[ i^{15}+i^{-2}=-i-1=-1-i \]
-
\[ (i^7)(i^4)=i^{7+4}=i^{11} \]
\[ i^{11}=i^3=-i \]
-
\[ i^{30}=i^2=-1 \]
\[ i^{29}=i \]
Entonces:
\[ i^{30}-i^{29}=-1-i \]
-
\[ \frac{i^{12}}{i^5}=i^{12-5}=i^7 \]
\[ i^7=i^3=-i \]
-
\[ (2i)(3i)(4i)=24i^3 \]
\[ 24i^3=24(-i)=-24i \]
-
Primero:
\[ (5i)^2=25i^2=-25 \]
Además:
\[ i^4=1 \]
Entonces:
\[ (5i)^2-3i^4=-25-3(1)=-28 \]
4. Racionalización con \(i\)
Ejercicio 7: racionalizar denominadores imaginarios
Simplifica y racionaliza cuando corresponda:
- \(\dfrac{1}{\sqrt{-50}}\)
- \(\dfrac{3}{\sqrt{-18}}\)
- \(\dfrac{4}{\sqrt{-12}}\)
- \(\dfrac{5}{\sqrt{-16}}\)
- \(\dfrac{7}{\sqrt{-2}}\)
- \(\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{-4}}\)
Usaremos que \(\sqrt{-a}=\sqrt{a}i\) y que \(\frac{1}{i}=-i\).
-
\[ \frac{1}{\sqrt{-50}}=\frac{1}{5\sqrt{2}i} \]
\[ =-\frac{i}{5\sqrt{2}} \]
Racionalizamos:
\[ -\frac{i}{5\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = -\frac{i\sqrt{2}}{10} \]
-
\[ \frac{3}{\sqrt{-18}}=\frac{3}{3\sqrt{2}i} \]
\[ =\frac{1}{\sqrt{2}i} \]
\[ =-\frac{i}{\sqrt{2}} \]
Racionalizamos:
\[ -\frac{i}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = -\frac{i\sqrt{2}}{2} \]
-
\[ \frac{4}{\sqrt{-12}}=\frac{4}{2\sqrt{3}i} \]
\[ =\frac{2}{\sqrt{3}i} \]
\[ =-\frac{2i}{\sqrt{3}} \]
Racionalizamos:
\[ -\frac{2i}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = -\frac{2i\sqrt{3}}{3} \]
-
\[ \frac{5}{\sqrt{-16}}=\frac{5}{4i} \]
\[ \frac{5}{4i}=-\frac{5i}{4} \]
-
\[ \frac{7}{\sqrt{-2}}=\frac{7}{\sqrt{2}i} \]
\[ =-\frac{7i}{\sqrt{2}} \]
Racionalizamos:
\[ -\frac{7i}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = -\frac{7i\sqrt{2}}{2} \]
-
\[ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{-4}}=\frac{\sqrt{3}}{2i} \]
\[ =-\frac{\sqrt{3}i}{2} \]
5. Ecuaciones con soluciones imaginarias puras
Ejercicio 8: resolver ecuaciones básicas
Resuelve:
- \(x^2+16=0\)
- \(x^2+81=0\)
- \(x^2+5=0\)
- \(x^2+11=0\)
- \(4x^2+100=0\)
- \(9x^2+45=0\)
-
\[ x^2+16=0 \]
\[ x^2=-16 \]
\[ x=\pm\sqrt{-16}=\pm 4i \]
-
\[ x^2+81=0 \]
\[ x^2=-81 \]
\[ x=\pm\sqrt{-81}=\pm 9i \]
-
\[ x^2+5=0 \]
\[ x^2=-5 \]
\[ x=\pm\sqrt{-5}=\pm\sqrt{5}i \]
-
\[ x^2+11=0 \]
\[ x^2=-11 \]
\[ x=\pm\sqrt{-11}=\pm\sqrt{11}i \]
-
\[ 4x^2+100=0 \]
\[ 4x^2=-100 \]
\[ x^2=-25 \]
\[ x=\pm 5i \]
-
\[ 9x^2+45=0 \]
\[ 9x^2=-45 \]
\[ x^2=-5 \]
\[ x=\pm\sqrt{5}i \]
Ejercicio 9: resolver ecuaciones con despeje previo
Resuelve:
- \(3x^2+12=0\)
- \(-2x^2=50\)
- \(5x^2+45=0\)
- \(\dfrac{x^2}{4}+9=0\)
- \(2x^2+18=0\)
- \(-x^2+64=0\)
-
\[ 3x^2+12=0 \]
\[ 3x^2=-12 \]
\[ x^2=-4 \]
\[ x=\pm 2i \]
-
\[ -2x^2=50 \]
Dividimos por \(-2\):
\[ x^2=-25 \]
\[ x=\pm 5i \]
-
\[ 5x^2+45=0 \]
\[ 5x^2=-45 \]
\[ x^2=-9 \]
\[ x=\pm 3i \]
-
\[ \frac{x^2}{4}+9=0 \]
\[ \frac{x^2}{4}=-9 \]
Multiplicamos por \(4\):
\[ x^2=-36 \]
\[ x=\pm 6i \]
-
\[ 2x^2+18=0 \]
\[ 2x^2=-18 \]
\[ x^2=-9 \]
\[ x=\pm 3i \]
-
\[ -x^2+64=0 \]
\[ -x^2=-64 \]
\[ x^2=64 \]
\[ x=\pm 8 \]
En este caso las soluciones son reales, no imaginarias.
Autoverificación
Antes de revisar la solución, comprueba si tu resultado cumple la condición inicial.
Por ejemplo, si obtienes \(x=5i\), entonces:
\[ (5i)^2=25i^2=-25 \]
Esto permite verificar ecuaciones como \(x^2+25=0\).