Libro de los números complejos
3. Necesidad y Definición de los Números Complejos
Necesidad y Definición de los Números Complejos
¿Por qué necesitamos nuevos números?
Necesidad de ampliar los números reales
Hasta ahora, has trabajado con números reales: enteros, fracciones, decimales, raíces, entre otros. Pero hay ecuaciones que no tienen solución dentro del conjunto de los números reales. La más conocida es:
\[ x^2=-1 \]
Ningún número real elevado al cuadrado puede dar un resultado negativo. Para resolver este tipo de ecuaciones, necesitamos un nuevo tipo de número: los números imaginarios y, a partir de ellos, los números complejos.
La unidad imaginaria \(i\)
Definición de la unidad imaginaria
Se define la unidad imaginaria, representada por la letra \(i\), como la raíz cuadrada de \(-1\):
\[ i=\sqrt{-1} \]
Por lo tanto:
\[ i^2=-1 \]
Esta definición, aunque pueda parecer extraña al principio, es matemáticamente consistente y permite resolver ecuaciones que no tienen solución en los números reales.
Potencias de la unidad imaginaria
Ciclo de las potencias de \(i\)
Las potencias de \(i\) son cíclicas, es decir, se repiten cada cuatro potencias:
- \(i^1=i\)
- \(i^2=-1\)
- \(i^3=i^2\cdot i=-1\cdot i=-i\)
- \(i^4=i^2\cdot i^2=(-1)(-1)=1\)
- \(i^5=i^4\cdot i=1\cdot i=i\)
- \(i^6=i^4\cdot i^2=1\cdot(-1)=-1\)
Regla general
Para calcular \(i^n\), se divide \(n\) por \(4\). El resto de la división indica a qué potencia básica equivale:
- Resto \(0\): \(i^n=1\)
- Resto \(1\): \(i^n=i\)
- Resto \(2\): \(i^n=-1\)
- Resto \(3\): \(i^n=-i\)
Ejemplo 1: simplificar \(i^{15}\)
Dividimos \(15\) por \(4\):
\[ 15=4\cdot 3+3 \]
El resto es \(3\), entonces:
\[ i^{15}=i^3=-i \]
Ejemplo 2: simplificar \(i^{26}\)
Dividimos \(26\) por \(4\):
\[ 26=4\cdot 6+2 \]
El resto es \(2\), entonces:
\[ i^{26}=i^2=-1 \]
Números complejos: forma binomial
Forma binomial de un número complejo
Un número complejo es un número que se puede expresar en la forma:
\[ z=a+bi \]
Donde:
- \(a\) y \(b\) son números reales.
- \(i\) es la unidad imaginaria.
- \(a\) es la parte real de \(z\), es decir, \(\operatorname{Re}(z)=a\).
- \(b\) es la parte imaginaria de \(z\), es decir, \(\operatorname{Im}(z)=b\).
Esta escritura se llama forma binomial o forma cartesiana.
Ejemplos de números complejos
- \(2+3i\): parte real \(2\), parte imaginaria \(3\).
- \(-5+i\): parte real \(-5\), parte imaginaria \(1\).
- \(4\): parte real \(4\), parte imaginaria \(0\). Los números reales son un subconjunto de los complejos.
- \(-6i\): parte real \(0\), parte imaginaria \(-6\). Es un imaginario puro.
- \(0\): parte real \(0\), parte imaginaria \(0\).
Igualdad de números complejos
Criterio de igualdad
Dos números complejos son iguales si y solo si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias son iguales.
Si \(z_1=a+bi\) y \(z_2=c+di\), entonces:
\[ z_1=z_2 \iff a=c \text{ y } b=d \]
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: identificar parte real e imaginaria
Identifica la parte real e imaginaria de:
\[ z=-7+\sqrt{3}i \]
Comparando con la forma \(z=a+bi\), se obtiene:
- Parte real: \(-7\)
- Parte imaginaria: \(\sqrt{3}\)
Ejemplo 2: escribir en forma binomial
Escribe en forma binomial el número complejo con parte real \(5\) y parte imaginaria \(-2\).
Como \(a=5\) y \(b=-2\), se tiene:
\[ z=5-2i \]
Ejemplo 3: simplificar \(i^{33}\)
Dividimos \(33\) por \(4\):
\[ 33=4\cdot 8+1 \]
El resto es \(1\), por lo tanto:
\[ i^{33}=i \]
Ejemplo 4: igualdad de números complejos
Encuentra \(x\) e \(y\) reales tales que:
\[ (2x+1)+5i=7+(y-2)i \]
Igualamos las partes reales:
\[ 2x+1=7 \]
\[ 2x=6 \]
\[ x=3 \]
Igualamos las partes imaginarias:
\[ 5=y-2 \]
\[ y=7 \]
Por lo tanto, \(x=3\) e \(y=7\).
Ejercicios ordenados por dificultad
Ejercicio 1: identificar parte real e imaginaria
Identifica la parte real y la parte imaginaria de cada número complejo:
- \(z=-1+4i\)
- \(z=\sqrt{2}-i\)
- \(z=-9i\)
- \(z=12\)
- \(z=0{,}5+1{,}2i\)
- \(z=-\frac{3}{4}i\)
Recordemos que si \(z=a+bi\), entonces \(a\) es la parte real y \(b\) es la parte imaginaria.
- \(z=-1+4i\): parte real \(-1\), parte imaginaria \(4\).
- \(z=\sqrt{2}-i=\sqrt{2}-1i\): parte real \(\sqrt{2}\), parte imaginaria \(-1\).
- \(z=-9i=0-9i\): parte real \(0\), parte imaginaria \(-9\).
- \(z=12=12+0i\): parte real \(12\), parte imaginaria \(0\).
- \(z=0{,}5+1{,}2i\): parte real \(0{,}5\), parte imaginaria \(1{,}2\).
- \(z=-\frac{3}{4}i=0-\frac{3}{4}i\): parte real \(0\), parte imaginaria \(-\frac{3}{4}\).
Ejercicio 2: escribir en forma binomial
Escribe en forma binomial cada número complejo:
- Parte real \(=-2\), parte imaginaria \(=5\).
- Parte real \(=0\), parte imaginaria \(=-1\).
- Parte real \(=\frac{1}{2}\), parte imaginaria \(=-\sqrt{3}\).
- Parte real \(=-4\), parte imaginaria \(=0\).
- Parte real \(=\pi\), parte imaginaria \(=-2{,}7\).
- Parte real \(=-\frac{2}{5}\), parte imaginaria \(=\frac{1}{3}\).
Usamos la forma binomial \(z=a+bi\), donde \(a\) es la parte real y \(b\) es la parte imaginaria.
- \(a=-2\), \(b=5\), entonces \(z=-2+5i\).
- \(a=0\), \(b=-1\), entonces \(z=0-i=-i\).
- \(a=\frac{1}{2}\), \(b=-\sqrt{3}\), entonces \(z=\frac{1}{2}-\sqrt{3}i\).
- \(a=-4\), \(b=0\), entonces \(z=-4+0i=-4\).
- \(a=\pi\), \(b=-2{,}7\), entonces \(z=\pi-2{,}7i\).
- \(a=-\frac{2}{5}\), \(b=\frac{1}{3}\), entonces \(z=-\frac{2}{5}+\frac{1}{3}i\).
Ejercicio 3: simplificar potencias de \(i\)
Simplifica las siguientes potencias:
- \(i^{10}\)
- \(i^{25}\)
- \(i^{100}\)
- \(i^{39}\)
- \(i^{-1}\)
- \(i^{50}\)
- \(i^{123}\)
- \(i^{-14}\)
- \(i^{4n+3}\), donde \(n\) es un entero.
Usamos que las potencias de \(i\) se repiten cada cuatro: \(i^1=i\), \(i^2=-1\), \(i^3=-i\), \(i^4=1\).
-
\[ 10=4\cdot 2+2 \]
El resto es \(2\), entonces:
\[ i^{10}=i^2=-1 \]
-
\[ 25=4\cdot 6+1 \]
El resto es \(1\), entonces:
\[ i^{25}=i \]
-
\[ 100=4\cdot 25+0 \]
El resto es \(0\), entonces:
\[ i^{100}=1 \]
-
\[ 39=4\cdot 9+3 \]
El resto es \(3\), entonces:
\[ i^{39}=i^3=-i \]
-
Como \(i^{-1}=\frac{1}{i}\), racionalizamos:
\[ i^{-1}=\frac{1}{i}\cdot\frac{i}{i}=\frac{i}{i^2}=\frac{i}{-1}=-i \]
-
\[ 50=4\cdot 12+2 \]
El resto es \(2\), entonces:
\[ i^{50}=i^2=-1 \]
-
\[ 123=4\cdot 30+3 \]
El resto es \(3\), entonces:
\[ i^{123}=i^3=-i \]
-
Primero calculamos \(i^{14}\):
\[ 14=4\cdot 3+2 \]
Entonces \(i^{14}=i^2=-1\). Por lo tanto:
\[ i^{-14}=\frac{1}{i^{14}}=\frac{1}{-1}=-1 \]
-
Separamos la potencia:
\[ i^{4n+3}=i^{4n}\cdot i^3 \]
Como \(i^4=1\), entonces:
\[ i^{4n}=(i^4)^n=1^n=1 \]
Por lo tanto:
\[ i^{4n+3}=1\cdot i^3=-i \]
Ejercicio 4: igualdad de números complejos
Encuentra \(x\) e \(y\) reales tales que:
- \(3x+2yi=9-4i\)
- \((x-1)+(y+2)i=0\)
- \(2xi-y=4+yi\)
- \((x+yi)+(2-3i)=5+i\)
- \((1+i)x+(1-i)y=2\)
- \(x-iy=2i(x+iy)\)
Para resolver, escribimos cada lado en forma \(a+bi\) e igualamos partes reales e imaginarias.
-
\[ 3x+2yi=9-4i \]
Parte real:
\[ 3x=9 \Rightarrow x=3 \]
Parte imaginaria:
\[ 2y=-4 \Rightarrow y=-2 \]
Por lo tanto, \(x=3\) e \(y=-2\).
-
\[ (x-1)+(y+2)i=0+0i \]
Parte real:
\[ x-1=0 \Rightarrow x=1 \]
Parte imaginaria:
\[ y+2=0 \Rightarrow y=-2 \]
Por lo tanto, \(x=1\) e \(y=-2\).
-
Reordenamos el lado izquierdo:
\[ 2xi-y=-y+2xi \]
Entonces:
\[ -y+2xi=4+yi \]
Parte real:
\[ -y=4 \Rightarrow y=-4 \]
Parte imaginaria:
\[ 2x=y \]
Como \(y=-4\), se tiene:
\[ 2x=-4 \Rightarrow x=-2 \]
Por lo tanto, \(x=-2\) e \(y=-4\).
-
Sumamos los complejos del lado izquierdo:
\[ (x+yi)+(2-3i)=(x+2)+(y-3)i \]
Entonces:
\[ (x+2)+(y-3)i=5+i \]
Parte real:
\[ x+2=5 \Rightarrow x=3 \]
Parte imaginaria:
\[ y-3=1 \Rightarrow y=4 \]
Por lo tanto, \(x=3\) e \(y=4\).
-
Desarrollamos:
\[ (1+i)x+(1-i)y=x+xi+y-yi \]
Agrupamos parte real e imaginaria:
\[ (x+y)+(x-y)i=2+0i \]
Igualamos partes:
\[ x+y=2 \]
\[ x-y=0 \]
De \(x-y=0\), se obtiene \(x=y\). Reemplazando en \(x+y=2\):
\[ y+y=2 \]
\[ 2y=2 \Rightarrow y=1 \]
Entonces \(x=1\). Por lo tanto, \(x=1\) e \(y=1\).
-
Desarrollamos el lado derecho:
\[ 2i(x+iy)=2ix+2i^2y \]
Como \(i^2=-1\), queda:
\[ 2ix+2i^2y=2xi-2y \]
Entonces:
\[ x-iy=-2y+2xi \]
Igualamos partes reales:
\[ x=-2y \]
Igualamos partes imaginarias:
\[ -y=2x \]
Equivalentemente:
\[ x+2y=0 \]
\[ 2x+y=0 \]
De \(x=-2y\), reemplazamos en \(2x+y=0\):
\[ 2(-2y)+y=0 \]
\[ -4y+y=0 \]
\[ -3y=0 \Rightarrow y=0 \]
Entonces \(x=-2(0)=0\). Por lo tanto, \(x=0\) e \(y=0\).