Libro de los números complejos
7. División de Números Complejos
División de Números Complejos
El conjugado de un número complejo
Definición de conjugado
El conjugado de un número complejo \(z=a+bi\) se denota por \(\overline{z}\) y se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria:
\[ \overline{z}=a-bi \]
Ejemplos de conjugados
- El conjugado de \(3+2i\) es \(3-2i\).
- El conjugado de \(-1-i\) es \(-1+i\).
- El conjugado de \(5i\) es \(-5i\).
- El conjugado de \(4\) es \(4\), porque los números reales son sus propios conjugados.
Propiedad importante
El producto de un número complejo por su conjugado siempre es un número real y no negativo:
\[ (a+bi)(a-bi)=a^2-abi+abi-b^2i^2 \]
Como \(-abi+abi=0\) e \(i^2=-1\), se obtiene:
\[ (a+bi)(a-bi)=a^2-b^2(-1)=a^2+b^2 \]
División de números complejos
Idea central
Para expresar una división de números complejos en forma binomial, conviene eliminar la parte imaginaria del denominador.
Esto se logra multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.
Procedimiento
Para dividir:
\[ \frac{a+bi}{c+di} \]
donde \(c+di\neq 0\), se procede así:
- Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador, es decir, por \(c-di\): \[ \frac{a+bi}{c+di}\cdot\frac{c-di}{c-di} \]
- Aplica la propiedad distributiva en el numerador y en el denominador.
- Simplifica usando que \(i^2=-1\).
- Escribe el resultado en forma binomial \(a+bi\).
Ejemplo resuelto 1: calcular \(\frac{2+3i}{1-i}\)
Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador. Como el denominador es \(1-i\), su conjugado es \(1+i\):
\[ \frac{2+3i}{1-i}\cdot\frac{1+i}{1+i} \]
Expandimos:
\[ \frac{(2+3i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{2+2i+3i+3i^2}{1+i-i-i^2} \]
Simplificamos usando \(i^2=-1\):
\[ \frac{2+5i+3(-1)}{1-(-1)} = \frac{2+5i-3}{2} \]
\[ \frac{-1+5i}{2} \]
Finalmente, escribimos en forma binomial:
\[ -\frac{1}{2}+\frac{5}{2}i \]
Ejemplo resuelto 2: calcular \(\frac{1-2{,}5i}{0{,}5+1{,}5i}\)
Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador. Como el denominador es \(0{,}5+1{,}5i\), su conjugado es \(0{,}5-1{,}5i\):
\[ \frac{1-2{,}5i}{0{,}5+1{,}5i}\cdot\frac{0{,}5-1{,}5i}{0{,}5-1{,}5i} \]
Expandimos:
\[ \frac{(1-2{,}5i)(0{,}5-1{,}5i)}{(0{,}5+1{,}5i)(0{,}5-1{,}5i)} \]
\[ = \frac{0{,}5-1{,}5i-1{,}25i+3{,}75i^2}{0{,}25-0{,}75i+0{,}75i-2{,}25i^2} \]
Simplificamos usando \(i^2=-1\):
\[ \frac{0{,}5-2{,}75i+3{,}75(-1)}{0{,}25-2{,}25(-1)} \]
\[ = \frac{0{,}5-2{,}75i-3{,}75}{0{,}25+2{,}25} \]
\[ = \frac{-3{,}25-2{,}75i}{2{,}5} \]
Dividimos cada término por \(2{,}5\):
\[ -1{,}3-1{,}1i \]
Ejercicios
Ejercicio 1: conjugado de un número complejo
Encuentra el conjugado de cada número complejo:
- \(4+5i\)
- \(-2-3i\)
- \(6i\)
- \(-7\)
- \(1-\sqrt{2}i\)
Para encontrar el conjugado, se mantiene la parte real y se cambia el signo de la parte imaginaria.
- \(\overline{4+5i}=4-5i\)
- \(\overline{-2-3i}=-2+3i\)
- \(\overline{6i}=-6i\)
- \(\overline{-7}=-7\)
- \(\overline{1-\sqrt{2}i}=1+\sqrt{2}i\)
Ejercicio 2: divisiones de números complejos
Realiza las siguientes divisiones, expresando el resultado en forma binomial:
- \(\frac{1+i}{2-i}\)
- \(\frac{3-2i}{1+i}\)
- \(\frac{4i}{2+3i}\)
- \(\frac{5}{i}\)
- \(\frac{2+i}{2-i}\)
-
El conjugado de \(2-i\) es \(2+i\):
\[ \frac{1+i}{2-i}\cdot\frac{2+i}{2+i} \]
\[ =\frac{(1+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} \]
\[ =\frac{2+i+2i+i^2}{4-i^2} \]
\[ =\frac{2+3i-1}{4-(-1)} \]
\[ =\frac{1+3i}{5} \]
\[ =\frac{1}{5}+\frac{3}{5}i \]
-
El conjugado de \(1+i\) es \(1-i\):
\[ \frac{3-2i}{1+i}\cdot\frac{1-i}{1-i} \]
\[ =\frac{(3-2i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} \]
\[ =\frac{3-3i-2i+2i^2}{1-i^2} \]
\[ =\frac{3-5i+2(-1)}{1-(-1)} \]
\[ =\frac{1-5i}{2} \]
\[ =\frac{1}{2}-\frac{5}{2}i \]
-
El conjugado de \(2+3i\) es \(2-3i\):
\[ \frac{4i}{2+3i}\cdot\frac{2-3i}{2-3i} \]
\[ =\frac{4i(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)} \]
\[ =\frac{8i-12i^2}{4-9i^2} \]
\[ =\frac{8i-12(-1)}{4-9(-1)} \]
\[ =\frac{12+8i}{13} \]
\[ =\frac{12}{13}+\frac{8}{13}i \]
-
Multiplicamos por \(\frac{-i}{-i}\):
\[ \frac{5}{i}\cdot\frac{-i}{-i} \]
\[ =\frac{-5i}{-i^2} \]
Como \(i^2=-1\), entonces \(-i^2=1\):
\[ \frac{-5i}{1}=-5i \]
-
El conjugado de \(2-i\) es \(2+i\):
\[ \frac{2+i}{2-i}\cdot\frac{2+i}{2+i} \]
\[ =\frac{(2+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} \]
\[ =\frac{4+2i+2i+i^2}{4-i^2} \]
\[ =\frac{4+4i-1}{4-(-1)} \]
\[ =\frac{3+4i}{5} \]
\[ =\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i \]
Ejercicio 3: resolver ecuaciones con complejos
Resuelve para \(z\), considerando que \(z\) es un número complejo:
- \(\frac{z}{1+i}=2-i\)
- \((3-i)z=2+4i\)
-
\[ \frac{z}{1+i}=2-i \]
Multiplicamos ambos lados por \(1+i\):
\[ z=(2-i)(1+i) \]
Desarrollamos:
\[ z=2+2i-i-i^2 \]
\[ z=2+i-(-1) \]
\[ z=3+i \]
-
\[ (3-i)z=2+4i \]
Dividimos por \(3-i\):
\[ z=\frac{2+4i}{3-i} \]
Multiplicamos por el conjugado del denominador:
\[ z=\frac{2+4i}{3-i}\cdot\frac{3+i}{3+i} \]
\[ z=\frac{(2+4i)(3+i)}{(3-i)(3+i)} \]
\[ z=\frac{6+2i+12i+4i^2}{9-i^2} \]
\[ z=\frac{6+14i+4(-1)}{9-(-1)} \]
\[ z=\frac{2+14i}{10} \]
\[ z=\frac{1}{5}+\frac{7}{5}i \]
Ejercicio 4: simplificar suma de inversos de potencias de \(i\)
Simplifica:
\[ \frac{1}{i}+\frac{1}{i^2}+\frac{1}{i^3}+\frac{1}{i^4} \]
Calculamos cada término por separado:
\[ \frac{1}{i}=-i \]
Porque:
\[ \frac{1}{i}\cdot\frac{i}{i}=\frac{i}{i^2}=\frac{i}{-1}=-i \]
Luego:
\[ \frac{1}{i^2}=\frac{1}{-1}=-1 \]
Como \(i^3=-i\):
\[ \frac{1}{i^3}=\frac{1}{-i} \]
Multiplicamos por \(\frac{i}{i}\):
\[ \frac{1}{-i}\cdot\frac{i}{i}=\frac{i}{-i^2} \]
Como \(i^2=-1\):
\[ \frac{i}{-(-1)}=\frac{i}{1}=i \]
Además:
\[ \frac{1}{i^4}=\frac{1}{1}=1 \]
Sumamos:
\[ -i-1+i+1=0 \]
Por lo tanto:
\[ \frac{1}{i}+\frac{1}{i^2}+\frac{1}{i^3}+\frac{1}{i^4}=0 \]
Ejercicio 5: inverso multiplicativo
Si \(z=2-3i\), calcula:
\[ \frac{1}{z} \]
Como \(z=2-3i\), entonces:
\[ \frac{1}{z}=\frac{1}{2-3i} \]
Multiplicamos por el conjugado del denominador:
\[ \frac{1}{2-3i}\cdot\frac{2+3i}{2+3i} \]
\[ =\frac{2+3i}{(2-3i)(2+3i)} \]
En el denominador usamos el producto de conjugados:
\[ (2-3i)(2+3i)=2^2+3^2=4+9=13 \]
Entonces:
\[ \frac{1}{z}=\frac{2+3i}{13} \]
Finalmente:
\[ \frac{1}{z}=\frac{2}{13}+\frac{3}{13}i \]