Libro de los números complejos
9. Conjugado y Distancia entre Números Complejos
Conjugado y Distancia entre Números Complejos
Repaso: conjugado
Definición de conjugado
El conjugado de un número complejo \(z=a+bi\) se denota por \(\overline{z}\) y se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria:
\[ \overline{z}=a-bi \]
Geométricamente, el conjugado es una reflexión del número complejo original con respecto al eje real en el plano complejo.
Propiedades del conjugado
Propiedades importantes
El conjugado tiene varias propiedades útiles. Si \(z=a+bi\), entonces:
- El conjugado del conjugado es el número original: \[ \overline{\overline{z}}=z \]
- La suma de un número complejo y su conjugado es un número real: \[ z+\overline{z}=(a+bi)+(a-bi)=2a \]
- La diferencia entre un número complejo y su conjugado es un número imaginario puro: \[ z-\overline{z}=(a+bi)-(a-bi)=2bi \]
- El producto de un número complejo y su conjugado es un número real no negativo: \[ z\cdot\overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2=|z|^2 \]
Propiedades con operaciones
Si \(z_1\) y \(z_2\) son números complejos, entonces:
- \[ \overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2} \]
- \[ \overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2} \]
- \[ \overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2} \]
- \[ \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} \quad \text{si } z_2\neq 0 \]
Ejemplo 1: conjugado del conjugado
Si \(z=2+3i\), entonces:
\[ \overline{z}=2-3i \]
Luego, el conjugado de \(\overline{z}\) es:
\[ \overline{\overline{z}}=2+3i \]
Por lo tanto:
\[ \overline{\overline{z}}=z \]
Ejemplo 2: suma de un complejo con su conjugado
Si \(z=2+3i\), entonces:
\[ \overline{z}=2-3i \]
Sumamos:
\[ z+\overline{z}=(2+3i)+(2-3i) \]
\[ z+\overline{z}=4 \]
El resultado es un número real.
Distancia entre números complejos
Fórmula de distancia
La distancia entre dos números complejos \(z_1=a+bi\) y \(z_2=c+di\) en el plano complejo se calcula como el módulo de su diferencia:
\[ \operatorname{Distancia}(z_1,z_2)=|z_1-z_2| \]
Como:
\[ z_1-z_2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i \]
Entonces:
\[ |z_1-z_2|=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2} \]
Esta fórmula es análoga a la fórmula de distancia entre dos puntos en el plano cartesiano.
Interpretación geométrica
Si \(z_1\) y \(z_2\) se representan como puntos en el plano complejo, la distancia entre ellos corresponde a la longitud del segmento que une ambos puntos.
Ejemplo: distancia entre \(z_1=1+i\) y \(z_2=4+5i\)
Primero calculamos la diferencia:
\[ z_1-z_2=(1+i)-(4+5i) \]
\[ z_1-z_2=(1-4)+(1-5)i \]
\[ z_1-z_2=-3-4i \]
Luego calculamos el módulo de la diferencia:
\[ |z_1-z_2|=|-3-4i| \]
\[ |z_1-z_2|=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2} \]
\[ |z_1-z_2|=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 \]
La distancia entre los dos números complejos es \(5\).
Ejercicios
Ejercicio 1: conjugado de un número complejo
Encuentra el conjugado de cada número complejo:
- \(5+2i\)
- \(-3-i\)
- \(4i\)
- \(-6\)
- \(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\)
Para encontrar el conjugado, mantenemos la parte real y cambiamos el signo de la parte imaginaria.
- \[ \overline{5+2i}=5-2i \]
- \[ \overline{-3-i}=-3+i \]
- \[ \overline{4i}=-4i \]
- \[ \overline{-6}=-6 \]
- \[ \overline{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i} = \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \]
Ejercicio 2: verificar \(z\cdot\overline{z}=|z|^2\)
Verifica que \(z\cdot\overline{z}=|z|^2\) para los siguientes números complejos:
- \(z=2+i\)
- \(z=-3+4i\)
- \(z=1-i\)
-
Si \(z=2+i\), entonces \(\overline{z}=2-i\).
\[ z\cdot\overline{z}=(2+i)(2-i) \]
\[ =4-2i+2i-i^2=4+1=5 \]
Por otra parte:
\[ |z|^2=\left(\sqrt{2^2+1^2}\right)^2=(\sqrt{5})^2=5 \]
Por lo tanto, \(z\cdot\overline{z}=|z|^2\).
-
Si \(z=-3+4i\), entonces \(\overline{z}=-3-4i\).
\[ z\cdot\overline{z}=(-3+4i)(-3-4i) \]
\[ =9+12i-12i-16i^2 \]
\[ =9-16(-1)=25 \]
Por otra parte:
\[ |z|^2=\left(\sqrt{(-3)^2+4^2}\right)^2=(\sqrt{25})^2=25 \]
Por lo tanto, \(z\cdot\overline{z}=|z|^2\).
-
Si \(z=1-i\), entonces \(\overline{z}=1+i\).
\[ z\cdot\overline{z}=(1-i)(1+i) \]
\[ =1+i-i-i^2=1+1=2 \]
Por otra parte:
\[ |z|^2=\left(\sqrt{1^2+(-1)^2}\right)^2=(\sqrt{2})^2=2 \]
Por lo tanto, \(z\cdot\overline{z}=|z|^2\).
Ejercicio 3: distancia entre números complejos
Calcula la distancia entre los siguientes pares de números complejos:
- \(z_1=1+2i\), \(z_2=4+6i\)
- \(z_1=-2+i\), \(z_2=3-4i\)
- \(z_1=5i\), \(z_2=-2i\)
Usamos la fórmula:
\[ \operatorname{Distancia}(z_1,z_2)=|z_1-z_2| \]
-
\[ z_1-z_2=(1+2i)-(4+6i) \]
\[ =(1-4)+(2-6)i=-3-4i \]
\[ |z_1-z_2|=|-3-4i| \]
\[ =\sqrt{(-3)^2+(-4)^2} \]
\[ =\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 \]
-
\[ z_1-z_2=(-2+i)-(3-4i) \]
\[ =(-2-3)+(1-(-4))i=-5+5i \]
\[ |z_1-z_2|=|-5+5i| \]
\[ =\sqrt{(-5)^2+5^2} \]
\[ =\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2} \]
-
\[ z_1-z_2=5i-(-2i) \]
\[ =7i \]
\[ |z_1-z_2|=|7i| \]
\[ =\sqrt{0^2+7^2}=\sqrt{49}=7 \]
Ejercicio 4: conjugado de una suma
Demuestra que el conjugado de la suma de dos números complejos es igual a la suma de sus conjugados. Es decir, si \(z_1=a+bi\) y \(z_2=c+di\), demuestra que:
\[ \overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2} \]
Primero sumamos \(z_1\) y \(z_2\):
\[ z_1+z_2=(a+bi)+(c+di) \]
\[ z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i \]
Ahora calculamos su conjugado:
\[ \overline{z_1+z_2}=(a+c)-(b+d)i \]
Por otra parte, calculamos los conjugados por separado:
\[ \overline{z_1}=a-bi \]
\[ \overline{z_2}=c-di \]
Sumamos esos conjugados:
\[ \overline{z_1}+\overline{z_2}=(a-bi)+(c-di) \]
\[ \overline{z_1}+\overline{z_2}=(a+c)-(b+d)i \]
Como ambos resultados son iguales, se concluye que:
\[ \overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2} \]