Libro de los números complejos
12. Conjeturas y Exploración con Números Complejos
Conjeturas y Exploración con Números Complejos
Más allá de los cálculos
Explorar, observar y conjeturar
Hemos aprendido a representar, operar y aplicar los números complejos. Ahora vamos a explorar algunas preguntas más abiertas, que invitan a pensar, experimentar y formular conjeturas.
No siempre hay una única respuesta correcta. Lo importante es el proceso de exploración, la observación de patrones y la justificación matemática.
Exploraciones y preguntas
Exploración 1: potencias de números complejos
- Calcula \((1+i)^2\), \((1+i)^3\), \((1+i)^4\), \((1+i)^5\). ¿Observas algún patrón?
- Calcula \((1-i)^2\), \((1-i)^3\), \((1-i)^4\), \((1-i)^5\). ¿Observas algún patrón?
- Representa los resultados de los apartados anteriores en el plano complejo. ¿Qué observas geométricamente?
- Intenta generalizar: ¿qué crees que ocurrirá con \((1+i)^n\) y \((1-i)^n\) para valores grandes de \(n\)?
- Más difícil: ¿puedes encontrar una forma general para describir \((1+i)^n\)? Pista: piensa en el módulo y en el ángulo que forma el vector con el eje real.
Calculamos primero las potencias de \(1+i\):
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\[ (1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i \]
\[ (1+i)^3=(1+i)(2i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i \]
\[ (1+i)^4=(2i)^2=4i^2=-4 \]
\[ (1+i)^5=(1+i)(-4)=-4-4i \]
Los resultados son:
\[ 2i,\quad -2+2i,\quad -4,\quad -4-4i \]
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Ahora calculamos las potencias de \(1-i\):
\[ (1-i)^2=1-2i+i^2=1-2i-1=-2i \]
\[ (1-i)^3=(1-i)(-2i)=-2i+2i^2=-2i-2=-2-2i \]
\[ (1-i)^4=(-2i)^2=4i^2=-4 \]
\[ (1-i)^5=(1-i)(-4)=-4+4i \]
Los resultados son:
\[ -2i,\quad -2-2i,\quad -4,\quad -4+4i \]
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Al representar los resultados en el plano complejo, se observa que las potencias se van alejando del origen y van cambiando de dirección.
Las potencias de \(1+i\) giran en un sentido, mientras que las potencias de \(1-i\) giran en el sentido contrario.
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Una conjetura razonable es que, al aumentar \(n\), las potencias de \(1+i\) y \(1-i\) seguirán alejándose del origen, ya que su módulo es mayor que \(1\).
Además, sus direcciones seguirán cambiando de manera regular, formando un patrón parecido a una espiral.
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Esta parte es más avanzada. La idea principal es que:
\[ |1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} \]
Además, el vector que representa a \(1+i\) forma un ángulo de \(45^\circ\) con el eje real.
Al elevar \(1+i\) a la potencia \(n\), el módulo se eleva a \(n\) y la dirección va rotando de forma regular.
Por eso las potencias de \(1+i\) se alejan del origen y giran en el plano complejo.
Exploración 2: módulo y conjugado
- Elige varios números complejos diferentes: algunos con parte real e imaginaria, algunos reales y algunos imaginarios puros.
- Para cada número complejo \(z\), calcula su conjugado \(\overline{z}\), su módulo \(|z|\) y el producto \(z\cdot\overline{z}\).
- ¿Qué observas sobre la relación entre \(z\cdot\overline{z}\) y \(|z|\)? Intenta formular una conjetura.
- ¿Puedes demostrar tu conjetura algebraicamente? Recuerda que \(z=a+bi\) y \(\overline{z}=a-bi\).
Una posible exploración puede usar, por ejemplo, los números \(2+i\), \(-3+4i\), \(5i\) y \(-6\).
Al calcular en varios casos, se observa que:
\[ z\cdot\overline{z}=|z|^2 \]
Demostremos esta conjetura en general.
Sea:
\[ z=a+bi \]
Entonces:
\[ \overline{z}=a-bi \]
Multiplicamos:
\[ z\cdot\overline{z}=(a+bi)(a-bi) \]
\[ =a^2-abi+abi-b^2i^2 \]
Los términos \(-abi\) y \(abi\) se cancelan:
\[ =a^2-b^2i^2 \]
Como \(i^2=-1\):
\[ =a^2-b^2(-1) \]
\[ =a^2+b^2 \]
Por otra parte:
\[ |z|=\sqrt{a^2+b^2} \]
Entonces:
\[ |z|^2=a^2+b^2 \]
Por lo tanto:
\[ z\cdot\overline{z}=|z|^2 \]
Exploración 3: ubicación en el plano complejo
- Elige varios números complejos que tengan el mismo módulo, por ejemplo módulo \(2\). Represéntalos en el plano complejo. ¿Qué observas?
- Elige varios números complejos que tengan la misma parte real. Represéntalos. ¿Qué observas?
- Elige varios números complejos que tengan la misma parte imaginaria. Represéntalos. ¿Qué observas?
- Más difícil: elige varios pares de números complejos cuyo producto sea un número real. ¿Qué relación hay entre sus ubicaciones en el plano complejo?
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Los números complejos que tienen el mismo módulo están a la misma distancia del origen.
Por ejemplo, si \(|z|=2\), todos esos puntos están a distancia \(2\) del origen.
Por lo tanto, se ubican sobre una circunferencia con centro en el origen y radio \(2\).
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Si varios números complejos tienen la misma parte real, entonces todos tienen la misma coordenada horizontal.
Por ejemplo, los números:
\[ 3+i,\quad 3+4i,\quad 3-2i \]
se representan por los puntos:
\[ (3,1),\quad (3,4),\quad (3,-2) \]
Estos puntos están sobre una misma recta vertical.
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Si varios números complejos tienen la misma parte imaginaria, entonces todos tienen la misma coordenada vertical.
Por ejemplo, los números:
\[ 1+2i,\quad -3+2i,\quad 5+2i \]
se representan por los puntos:
\[ (1,2),\quad (-3,2),\quad (5,2) \]
Estos puntos están sobre una misma recta horizontal.
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Una forma sencilla de obtener un producto real es multiplicar un número complejo por su conjugado.
Por ejemplo:
\[ (2+3i)(2-3i)=2^2+3^2=13 \]
Geométricamente, \(2+3i\) y \(2-3i\) son puntos simétricos respecto del eje real.
En general, si dos números complejos son conjugados, sus vectores tienen la misma distancia al origen y están reflejados respecto del eje real. Al multiplicarlos, el resultado es real y no negativo.
También puede ocurrir que el producto sea real en otros casos, por ejemplo cuando uno de los números es un múltiplo real del inverso de la dirección del otro. La condición algebraica para que el producto de \(a+bi\) y \(c+di\) sea real es que su parte imaginaria sea cero.
Como:
\[ (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i \]
El producto es real cuando:
\[ ad+bc=0 \]
Ejercicio 4: potencia de la unidad imaginaria
¿Cuánto vale \(i^{12345}\)?
Las potencias de \(i\) se repiten cada \(4\):
\[ i^1=i,\qquad i^2=-1,\qquad i^3=-i,\qquad i^4=1 \]
Dividimos \(12345\) por \(4\):
\[ 12345=4\cdot 3086+1 \]
El resto es \(1\), por lo tanto:
\[ i^{12345}=i^1=i \]