Relaciones Métricas con Cuerdas, Secantes y Tangentes
2. Teorema de las Secantes y de la Secante-Tangente
Objetivos
- Aplicar el teorema de dos secantes desde un punto exterior.
- Diferenciar longitud exterior y longitud total de una secante.
- Usar potencia de un punto exterior.
Secantes desde un punto exterior
Si desde un punto exterior \(P\) salen dos secantes que cortan a la circunferencia en \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\), entonces:
\[ PA\cdot PB = PC\cdot PD \]
En esta relación, \(PA\) y \(PC\) son las partes exteriores, mientras que \(PB\) y \(PD\) son las longitudes totales desde \(P\).
Idea clave
Si te dan la parte exterior y la parte interior de una secante, primero debes calcular la longitud total.
Por ejemplo, si \(PA=4\) y \(AB=5\), entonces: \[ PB=PA+AB=4+5=9 \]
Ejemplo con dos secantes
Desde \(P\), una secante tiene \(PA=4\) y \(AB=5\). Otra secante tiene \(PC=3\) y \(CD=x\).
Primero calculamos las longitudes totales: \[ PB=PA+AB=4+5=9 \] \[ PD=PC+CD=3+x \]
Luego aplicamos el teorema: \[ PA\cdot PB=PC\cdot PD \] \[ 4\cdot 9=3(3+x) \] \[ 36=9+3x \] \[ x=9 \]
Ejercicio 1
Desde \(P\), una secante tiene \(PA=4\) y \(AB=5\). Otra tiene \(PC=3\) y \(CD=x\). Calcula \(x\).
Primero: \[ PB=4+5=9 \] \[ PD=3+x \] Luego: \[ 4\cdot 9=3(3+x) \] \[ 36=9+3x \] \[ 27=3x \] \[ x=9 \]
Ejercicio 2
Si \(PA=5\), \(PB=12\) y \(PC=4\), calcula \(PD\).
Aquí \(PB\) y \(PD\) son longitudes totales: \[ PA\cdot PB=PC\cdot PD \] \[ 5\cdot 12=4\cdot PD \] \[ 60=4\cdot PD \] \[ PD=15 \]
Ejercicio 3
Una secante tiene parte exterior \(6\) y parte interior \(8\). Otra secante tiene parte exterior \(7\). Calcula su longitud total.
La primera secante tiene longitud total: \[ 6+8=14 \] Entonces: \[ 6\cdot 14=7\cdot L \] \[ 84=7L \] \[ L=12 \] La longitud total de la segunda secante es \(12\).
Ejercicio 4
Una secante tiene \(PA=6\) y \(AB=10\). Otra tiene \(PC=8\) y \(CD=x\). Calcula \(x\).
Calculamos las longitudes totales: \[ PB=6+10=16 \] \[ PD=8+x \] Aplicamos: \[ 6\cdot 16=8(8+x) \] \[ 96=64+8x \] \[ 32=8x \] \[ x=4 \]
Ejercicio 5
Desde un punto exterior \(P\), una secante tiene parte exterior \(3\) y parte interior \(9\). Otra secante tiene parte exterior \(4\). ¿Cuánto mide la parte interior de la segunda secante?
Primera secante: \[ \text{longitud total}=3+9=12 \] Segunda secante: \[ \text{longitud total}=4+x \] Entonces: \[ 3\cdot 12=4(4+x) \] \[ 36=16+4x \] \[ 20=4x \] \[ x=5 \] La parte interior mide \(5\).
Ejercicio 6
Si \(PA=7\), \(AB=5\), \(PC=4\) y \(CD=x\), calcula \(x\).
Primero: \[ PB=7+5=12 \] \[ PD=4+x \] Luego: \[ 7\cdot 12=4(4+x) \] \[ 84=16+4x \] \[ 68=4x \] \[ x=17 \]
Ejercicio 7
Desde \(P\), una secante tiene \(PA=2\) y \(PB=18\). Otra secante tiene \(PC=4\). Calcula \(PD\) y luego la parte interior \(CD\).
Aplicamos: \[ PA\cdot PB=PC\cdot PD \] \[ 2\cdot 18=4\cdot PD \] \[ 36=4\cdot PD \] \[ PD=9 \]
Como \(PD\) es la longitud total: \[ CD=PD-PC=9-4=5 \] Entonces \(CD=5\).
Ejercicio 8
Una secante tiene parte exterior \(5\) y longitud total \(20\). Otra secante tiene parte exterior \(x\) y longitud total \(x+15\). Calcula \(x\).
Aplicamos: \[ 5\cdot 20=x(x+15) \] \[ 100=x^2+15x \] \[ x^2+15x-100=0 \]
Factorizamos: \[ (x+20)(x-5)=0 \] Como una longitud no puede ser negativa: \[ x=5 \]
Ejercicio 9
Un estudiante resuelve así: si \(PA=4\), \(AB=5\), \(PC=3\) y \(CD=x\), escribe: \[ 4\cdot 5=3x \] ¿Cuál es el error?
El error es multiplicar la parte exterior por la parte interior. En el teorema de secantes se multiplica: \[ \text{parte exterior}\cdot \text{longitud total} \]
Lo correcto es: \[ 4(4+5)=3(3+x) \] \[ 4\cdot 9=3(3+x) \]
Ejercicio 10
Si \(PA=x\), \(AB=6\), \(PC=4\) y \(CD=8\), ¿cuánto vale \(x\)?
Las longitudes totales son: \[ PB=x+6 \] \[ PD=4+8=12 \] Entonces: \[ x(x+6)=4\cdot 12 \] \[ x^2+6x=48 \] \[ x^2+6x-48=0 \]
Factorizamos: \[ (x+12)(x-4)=0 \] Como una longitud no puede ser negativa: \[ x=4 \]
Ejercicio 11
¿Cuál igualdad representa correctamente el teorema de dos secantes desde un punto exterior \(P\)?
- \(PA\cdot AB=PC\cdot CD\)
- \(PA+PB=PC+PD\)
- \(PA\cdot PB=PC\cdot PD\)
- \(AB\cdot CD=PA\cdot PC\)
La alternativa correcta es C: \[ PA\cdot PB=PC\cdot PD \] donde \(PB\) y \(PD\) son longitudes totales desde \(P\).
Ejercicio 12
Una secante tiene parte exterior \(6\) y longitud total \(18\). Otra secante tiene parte exterior \(9\). ¿Cuál es la longitud total de la segunda secante?
Aplicamos el teorema: \[ 6\cdot 18=9\cdot L \] \[ 108=9L \] \[ L=12 \] La longitud total de la segunda secante es \(12\).