Relaciones Métricas con Cuerdas, Secantes y Tangentes
3. Teorema de la Tangente
Objetivos
- Aplicar la relación entre una tangente y una secante desde un punto exterior.
- Calcular longitudes desconocidas en problemas con tangente.
- Interpretar la perpendicularidad entre radio y tangente.
Tangente y secante
Si desde un punto exterior \(P\) se traza una tangente \( \overline{PT} \) y una secante \(PAB\), entonces:
\[ PT^2=PA\cdot PB \]
En esta relación, \(PA\) es la parte exterior de la secante y \(PB\) es la longitud total desde \(P\).
Dato geométrico útil
El radio trazado al punto de tangencia es perpendicular a la tangente: \[ OT\perp PT \]
Ejemplo
Si \(PT=6\) y \(PA=4\), calcula \(PB\).
Aplicamos: \[ PT^2=PA\cdot PB \] \[ 6^2=4\cdot PB \] \[ 36=4\cdot PB \] \[ PB=9 \]
Ejercicio 1
Desde \(P\), \(PT=8\) y \(PA=4\). Calcula \(PB\).
\[ PT^2=PA\cdot PB \] \[ 8^2=4\cdot PB \] \[ 64=4\cdot PB \] \[ PB=16 \]
Ejercicio 2
Si \(PT=12\) y \(PB=18\), calcula \(PA\).
\[ PT^2=PA\cdot PB \] \[ 12^2=PA\cdot 18 \] \[ 144=18PA \] \[ PA=8 \]
Ejercicio 3
Si \(PA=5\) y \(AB=11\), calcula \(PT\).
Primero calculamos la longitud total: \[ PB=PA+AB=5+11=16 \]
Luego: \[ PT^2=PA\cdot PB \] \[ PT^2=5\cdot 16=80 \] \[ PT=\sqrt{80}=4\sqrt{5} \]
Ejercicio 4
Si \(PT=10\), \(PA=5\) y \(AB=x\), calcula \(x\).
Como \(PB=PA+AB\), entonces: \[ PB=5+x \]
Aplicamos: \[ PT^2=PA\cdot PB \] \[ 10^2=5(5+x) \] \[ 100=25+5x \] \[ 75=5x \] \[ x=15 \]
Ejercicio 5
Si \(PA=3\) y \(PB=27\), calcula \(PT\).
\[ PT^2=PA\cdot PB \] \[ PT^2=3\cdot 27=81 \] \[ PT=9 \]
Ejercicio 6
Si \(PT=15\), \(PA=9\) y \(AB=x\), calcula \(x\).
Como \(PB=PA+AB\), entonces: \[ PB=9+x \]
Aplicamos: \[ 15^2=9(9+x) \] \[ 225=81+9x \] \[ 144=9x \] \[ x=16 \]
Ejercicio 7
Si \(PT=x\), \(PA=4\) y \(PB=16\), calcula \(x\).
\[ x^2=4\cdot 16 \] \[ x^2=64 \] Como \(x\) representa una longitud: \[ x=8 \]
Ejercicio 8
Si \(PT=x\), \(PA=6\) y \(AB=18\), calcula \(x\).
Primero: \[ PB=PA+AB=6+18=24 \]
Luego: \[ x^2=6\cdot 24 \] \[ x^2=144 \] \[ x=12 \]
Ejercicio 9
Explica por qué \(OT\) es perpendicular a \(PT\).
\(PT\) es tangente a la circunferencia en \(T\). El radio trazado al punto de tangencia siempre es perpendicular a la tangente. Por eso: \[ OT\perp PT \]
Ejercicio 10
Un estudiante resuelve así: si \(PA=4\), \(AB=5\), escribe \[ PT^2=4\cdot 5 \] ¿Cuál es el error?
El error es usar \(AB\), que es solo la parte interior de la secante. La fórmula usa \(PA\) y la longitud total \(PB\).
Como: \[ PB=PA+AB=4+5=9 \] Lo correcto sería: \[ PT^2=4\cdot 9 \]
Ejercicio 11
Si \(PA=x\), \(AB=5\) y \(PT=6\), calcula \(x\).
Como \(PB=PA+AB\): \[ PB=x+5 \]
Aplicamos: \[ PT^2=PA\cdot PB \] \[ 6^2=x(x+5) \] \[ 36=x^2+5x \] \[ x^2+5x-36=0 \]
Factorizamos: \[ (x+9)(x-4)=0 \] Como una longitud no puede ser negativa: \[ x=4 \]
Ejercicio 12
¿Cuál igualdad representa correctamente la relación entre tangente y secante desde un punto exterior?
- \(PT=PA\cdot PB\)
- \(PT^2=PA\cdot AB\)
- \(PT^2=PA\cdot PB\)
- \(OT^2=PA\cdot PB\)
La alternativa correcta es C: \[ PT^2=PA\cdot PB \] porque \(PT\) es la tangente, \(PA\) es la parte exterior de la secante y \(PB\) es la longitud total.