El Cuadrado de un Binomio: El Caso de la Suma

Ahora que hemos repasado la propiedad distributiva, estamos listos para explorar uno de los productos notables más importantes: el cuadrado de un binomio. En esta página, nos enfocaremos en el caso de la suma, es decir, expresiones de la forma \((a + b)^2\).

Desarrollo del Producto Notable (a + b)²

Elevar un binomio al cuadrado significa multiplicarlo por sí mismo. Entonces, \((a + b)^2\) es lo mismo que \((a + b) \cdot (a + b)\). Podemos usar la propiedad distributiva para desarrollar esta expresión:

\( (a + b)^2 = (a + b) \cdot (a + b) \)

\( = a \cdot (a + b) + b \cdot (a + b) \)

\( = (a \cdot a) + (a \cdot b) + (b \cdot a) + (b \cdot b) \)

\( = a^2 + ab + ba + b^2 \)

\( = a^2 + 2ab + b^2 \)

Por lo tanto, la fórmula para el cuadrado de un binomio (suma) es:

\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)

Ejemplo (Concreto): Imagina que tienes un cuadrado de cartulina cuyo lado mide (2 + 3) cm. El área de este cuadrado es (2 + 3)² cm². Podemos dividir este cuadrado en cuatro secciones:

• Un cuadrado de lado 2 cm (área = 2² cm² = 4 cm²).
• Un cuadrado de lado 3 cm (área = 3² cm² = 9 cm²).
• Dos rectángulos con lados 2 cm y 3 cm (cada uno con área = 2 • 3 cm² = 6 cm²).

La suma de las áreas de estas cuatro secciones es 4 cm² + 9 cm² + 6 cm² + 6 cm² = 25 cm², que es lo mismo que (2 + 3)² = 5² = 25 cm².

Ejemplo (Pictórico): Podemos representar el cuadrado de un binomio con un cuadrado:

(Aquí iría una imagen de un cuadrado dividido en cuatro secciones: un cuadrado de lado 'a', un cuadrado de lado 'b' y dos rectángulos de lados 'a' y 'b'. Como estamos en HTML plano, no podemos insertarla, pero sería importante que el profesor la dibuje en la pizarra o se use en una presentación).

El área total del cuadrado es la suma de las áreas de las cuatro secciones: \(a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

Ejercicios (Cuadrado de un Binomio - Suma)

Nivel 1: Expandir \((a + b)^2\) con valores enteros para 'a' y 'b' (4 ejercicios).

Ejercicio 1: \( (2 + 3)^2 \)
Ejercicio 2: \( (5 + 1)^2 \)
Ejercicio 3: \( (4 + 6)^2 \)
Ejercicio 4: \( (7 + 2)^2 \)

Nivel 2: Expandir \((a + b)^2\) con valores racionales (fracciones propias, números mixtos, enteros y decimales combinados) para 'a' y 'b' (4 ejercicios).

Ejercicio 1: \( (0.5 + 1)^2 \)
Ejercicio 2: \( (\frac{1}{2} + \frac{1}{4})^2 \)
Ejercicio 3: \( (2 + 1\frac{1}{2})^2 \)
Ejercicio 4: \( (1.2 + 0.8)^2 \)

Nivel 3: Expandir \((a + b)^2\) con expresiones algebraicas (14 ejercicios).

Ejercicio 1: \( (x + 2)^2 \)
Ejercicio 2: \( (3 + a)^2 \)
Ejercicio 3: \( (m + n)^2 \)
Ejercicio 4: \( (2x + 1)^2 \)
Ejercicio 5: \( (4 + 3y)^2 \)
Ejercicio 6: \( (\frac{1}{2}a + 2)^2 \)
Ejercicio 7: \( (0.5x + 1.5)^2 \)
Ejercicio 8: \( (x + y)^2 \)
Ejercicio 9: \( (2a + 3b)^2 \)
Ejercicio 10: \( (m + \frac{1}{3})^2 \)
Ejercicio 11: \( (2.5 + x)^2 \)
Ejercicio 12: \( (3x + 4y)^2 \)
Ejercicio 13: \( (\frac{2}{5}m + \frac{3}{5}n)^2 \)
Ejercicio 14: \( (1 + 0.1x)^2 \)

Factorizando un Trinomio Cuadrado Perfecto

Para factorizar una expresión de la forma \(a^2 + 2ab + b^2\), debemos identificar que es un trinomio cuadrado perfecto. Esto significa que el primer y tercer término son cuadrados perfectos, y el segundo término es el doble del producto de las raíces cuadradas del primer y tercer término.

Ejemplo: Factorizar la expresión \(x^2 + 6x + 9\).

1. **Identificar los cuadrados perfectos:** El primer término, \(x^2\), es el cuadrado de \(x\). El tercer término, \(9\), es el cuadrado de \(3\).

2. **Verificar el doble producto:** El segundo término, \(6x\), es el doble del producto de las raíces cuadradas del primer y tercer término: \(2 \cdot x \cdot 3 = 6x\).

3. **Factorizar:** Como la expresión cumple con las características de un trinomio cuadrado perfecto, podemos factorizarla como el cuadrado de un binomio: \(x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\).

Nivel 4: Factorizar expresiones a la forma \(a^2 + 2ab + b^2\) (14 ejercicios).

Ejercicio 1: \( x^2 + 4x + 4 \)
Ejercicio 2: \( a^2 + 6a + 9 \)
Ejercicio 3: \( m^2 + 10m + 25 \)
Ejercicio 4: \( 4x^2 + 4x + 1 \)
Ejercicio 5: \( 9y^2 + 24y + 16 \)
Ejercicio 6: \( \frac{1}{4}a^2 + 2a + 4 \)
Ejercicio 7: \( 0.25x^2 + 1.5x + 2.25 \)
Ejercicio 8: \( x^2 + 2xy + y^2 \)
Ejercicio 9: \( 4a^2 + 12ab + 9b^2 \)
Ejercicio 10: \( m^2 + \frac{2}{3}m + \frac{1}{9} \)
Ejercicio 11: \( 6.25 + 5x + x^2 \)
Ejercicio 12: \( 9x^2 + 24xy + 16y^2 \)
Ejercicio 13: \( \frac{4}{25}m^2 + \frac{12}{25}mn + \frac{9}{25}n^2 \)
Ejercicio 14: \( 1 + 0.2x + 0.01x^2 \)

Nivel 5: Situaciones problemáticas que involucren el cuadrado de un binomio (suma).

Problema 1: El área de un cuadrado es \(x^2 + 6x + 9\) unidades cuadradas. ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado en términos de \(x\)?

Problema 2: Se quiere construir una piscina cuadrada rodeada por un borde de baldosas. El área total (piscina más borde) se puede expresar como \(4x^2 + 28x + 49\) metros cuadrados. ¿Cuál es la expresión que representa la longitud del lado de la piscina?

Problema 3: Un terreno cuadrado tiene un área de \(9x^2 + 30xy + 25y^2\) metros cuadrados. Si se quiere cercar el terreno con una valla, ¿cuántos metros de valla se necesitan?