Suma por Diferencia: Un Producto Notable Especial

Hemos visto cómo desarrollar el cuadrado de un binomio, tanto para la suma como para la resta. Ahora, vamos a explorar otro producto notable muy importante: la suma por diferencia, que tiene la forma \((a + b)(a - b)\).

Desarrollo del Producto Notable (a + b)(a - b)

Para desarrollar la expresión \((a + b)(a - b)\), aplicamos la propiedad distributiva de la siguiente manera:

\( (a + b)(a - b) = a \cdot (a - b) + b \cdot (a - b) \)

\( = (a \cdot a) - (a \cdot b) + (b \cdot a) - (b \cdot b) \)

\( = a^2 - ab + ba - b^2 \)

\( = a^2 - b^2 \)

Por lo tanto, la fórmula para la suma por diferencia es:

\( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \)

Ejemplo (Pictórico): Podemos representar la suma por diferencia con rectángulos:

(Aquí iría una imagen de un rectángulo de lados (a+b) y (a-b). Se divide el rectángulo de forma que se visualiza la resta de las areas, dando como resultado a² - b². Como estamos en HTML plano, no podemos insertarla, pero sería importante que el profesor la dibuje en la pizarra o se use en una presentación).

El area del rectangulo es (a+b)•(a-b) que es equivalente a la resta del area de un cuadrado de lado a con un cuadrado de lado b.

Ejercicios (Suma por Diferencia)

Nivel 1: Expandir \((a + b)(a - b)\) con valores enteros para 'a' y 'b' (4 ejercicios).

Ejercicio 1: \( (3 + 2)(3 - 2) \)
Ejercicio 2: \( (5 + 1)(5 - 1) \)
Ejercicio 3: \( (7 + 4)(7 - 4) \)
Ejercicio 4: \( (6 + 3)(6 - 3) \)

Nivel 2: Expandir \((a + b)(a - b)\) con valores racionales (fracciones propias, números mixtos, enteros y decimales combinados) para 'a' y 'b' (4 ejercicios).

Ejercicio 1: \( (1 + 0.5)(1 - 0.5) \)
Ejercicio 2: \( (\frac{3}{4} + \frac{1}{4})(\frac{3}{4} - \frac{1}{4}) \)
Ejercicio 3: \( (2\frac{1}{2} + 1)(2\frac{1}{2} - 1) \)
Ejercicio 4: \( (3.5 - 1.5)(3.5 + 1.5) \)

Nivel 3: Expandir \((a + b)(a - b)\) con expresiones algebraicas (14 ejercicios).

Ejercicio 1: \( (x + 2)(x - 2) \)
Ejercicio 2: \( (a - 3)(a + 3) \)
Ejercicio 3: \( (m + n)(m - n) \)
Ejercicio 4: \( (2x + 1)(2x - 1) \)
Ejercicio 5: \( (5 - 3y)(5 + 3y) \)
Ejercicio 6: \( (\frac{1}{2}a + 2)(\frac{1}{2}a - 2) \)
Ejercicio 7: \( (1.5 - 0.5x)(1.5 + 0.5x) \)
Ejercicio 8: \( (x + y)(x - y) \)
Ejercicio 9: \( (3a - 2b)(3a + 2b) \)
Ejercicio 10: \( (m + \frac{1}{3})(m - \frac{1}{3}) \)
Ejercicio 11: \( (2.5 - x)(2.5 + x) \)
Ejercicio 12: \( (4x + 3y)(4x - 3y) \)
Ejercicio 13: \( (\frac{2}{5}m - \frac{1}{2}n)(\frac{2}{5}m + \frac{1}{2}n) \)
Ejercicio 14: \( (0.1x + 1)(0.1x - 1) \)

Factorizando una Diferencia de Cuadrados

Factorizar una diferencia de cuadrados significa expresar una expresión de la forma \(a^2 - b^2\) como el producto de la suma y la diferencia de las raíces cuadradas de cada término. La fórmula que usamos es la inversa del producto notable que acabamos de ver:

\( a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \)

Ejemplo: Factorizar la expresión \(x^2 - 9\).

1. **Identificar los cuadrados perfectos:** El primer término, \(x^2\), es el cuadrado de \(x\). El segundo término, \(9\), es el cuadrado de \(3\).

2. **Aplicar la fórmula:** Usando la fórmula de diferencia de cuadrados, factorizamos la expresión como \((x + 3)(x - 3)\).

Por lo tanto, la factorización de \(x^2 - 9\) es \((x + 3)(x - 3)\).

Nivel 4: Factorizar expresiones a la forma \(a^2 - b^2\) (14 ejercicios).

Ejercicio 1: \( x^2 - 4 \)
Ejercicio 2: \( a^2 - 25 \)
Ejercicio 3: \( m^2 - n^2 \)
Ejercicio 4: \( 4x^2 - 1 \)
Ejercicio 5: \( 16 - 9y^2 \)
Ejercicio 6: \( \frac{1}{4}a^2 - 4 \)
Ejercicio 7: \( 2.25 - 0.25x^2 \)
Ejercicio 8: \( x^2 - y^2 \)
Ejercicio 9: \( 9a^2 - 4b^2 \)
Ejercicio 10: \( m^2 - \frac{1}{9} \)
Ejercicio 11: \( 6.25 - x^2 \)
Ejercicio 12: \( 16x^2 - 9y^2 \)
Ejercicio 13: \( \frac{4}{25}m^2 - \frac{1}{4}n^2 \)
Ejercicio 14: \( 0.01x^2 - 1 \)

Nivel 5: Situaciones problemáticas que involucren la suma por diferencia.

Problema 1: El área de un rectángulo se puede expresar como \(x^2 - 16\) unidades cuadradas. Si la longitud y el ancho del rectángulo son de la forma \((x + a)\) y \((x - a)\), donde 'a' es un número entero, ¿cuáles son las expresiones para la longitud y el ancho del rectángulo?

Problema 2: Una tienda vende un artículo a un precio de \((2x + 5)\) dólares. Durante una oferta especial, el precio se reduce a \((2x - 5)\) dólares. Si la diferencia entre el cuadrado del precio original y el cuadrado del precio de oferta es de $100, ¿cuál es el valor de 'x'?

Problema 3: Se quiere diseñar una alfombra rectangular con un área que se puede expresar como \(9x^2 - 4y^2\) metros cuadrados. ¿Cuáles son las posibles expresiones para la longitud y el ancho de la alfombra en términos de 'x' e 'y'?