La Función Logarítmica
4. Representación gráfica de funciones logarítmicas
Representación gráfica de funciones logarítmicas
Características gráficas principales
La gráfica de una función logarítmica de la forma \[ f(x)=\log_b(x) \] depende de la base \(b\), pero siempre cumple ciertas condiciones.
- Su dominio es \(x>0\), es decir, \((0,\infty)\).
- Pasa por el punto \((1,0)\), porque \(\log_b(1)=0\).
- Tiene una asíntota vertical en \(x=0\).
- Si \(b>1\), la función es creciente.
- Si \(0<b<1\), la función es decreciente.
Ejemplo 1: gráfica de \(f(x)=\log_2(x)\)
La función \(f(x)=\log_2(x)\) tiene base \(2\). Como \(2>1\), su gráfica es creciente.
| \(x\) | \(\log_2(x)\) | Justificación |
|---|---|---|
| \(\frac{1}{4}\) | \(-2\) | \(2^{-2}=\frac{1}{4}\) |
| \(\frac{1}{2}\) | \(-1\) | \(2^{-1}=\frac{1}{2}\) |
| \(1\) | \(0\) | \(2^0=1\) |
| \(2\) | \(1\) | \(2^1=2\) |
| \(4\) | \(2\) | \(2^2=4\) |
| \(8\) | \(3\) | \(2^3=8\) |
La gráfica crece lentamente, pasa por \((1,0)\) y se acerca al eje \(Y\) sin tocarlo.
Ejemplo 2: gráfica de \(g(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x)\)
La función \(g(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x)\) tiene base \(\frac{1}{2}\). Como \(0<\frac{1}{2}<1\), su gráfica es decreciente.
| \(x\) | \(\log_{\frac{1}{2}}(x)\) | Justificación |
|---|---|---|
| \(\frac{1}{4}\) | \(2\) | \(\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\) |
| \(\frac{1}{2}\) | \(1\) | \(\left(\frac{1}{2}\right)^1=\frac{1}{2}\) |
| \(1\) | \(0\) | \(\left(\frac{1}{2}\right)^0=1\) |
| \(2\) | \(-1\) | \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=2\) |
| \(4\) | \(-2\) | \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}=4\) |
| \(8\) | \(-3\) | \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}=8\) |
La gráfica decrece, pasa por \((1,0)\) y también se acerca al eje \(Y\) sin tocarlo.
Ejemplo 3: comparación entre \(b>1\) y \(0<b<1\)
Comparemos las funciones:
\[ f(x)=\log_2(x) \qquad\text{y}\qquad g(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x) \]
Ambas tienen dominio \(x>0\), pasan por \((1,0)\) y tienen asíntota vertical en \(x=0\). La diferencia principal está en el comportamiento:
- \(\log_2(x)\) es creciente, porque \(2>1\).
- \(\log_{\frac{1}{2}}(x)\) es decreciente, porque \(0<\frac{1}{2}<1\).
La base determina si la función logarítmica crece o decrece.
Ejemplo 4: relación entre exponencial y logaritmo
La función \(y=2^x\) y la función \(y=\log_2(x)\) son inversas. Por eso, sus gráficas se reflejan respecto de la recta \(y=x\).
Algunos puntos intercambian sus coordenadas:
- En \(y=2^x\), el punto \((2,4)\) pertenece a la gráfica.
- En \(y=\log_2(x)\), el punto correspondiente es \((4,2)\).
Esta relación muestra que el logaritmo deshace una potencia.
Ejercicios gráficos
Ejercicio 1
Completa la tabla para \(f(x)=\log_3(x)\):
| \(x\) | \(\log_3(x)\) |
|---|---|
| \(\frac{1}{9}\) | ? |
| \(\frac{1}{3}\) | ? |
| \(1\) | ? |
| \(3\) | ? |
| \(9\) | ? |
Buscamos el exponente al que se debe elevar \(3\) para obtener cada valor de \(x\).
| \(x\) | \(\log_3(x)\) | Justificación |
|---|---|---|
| \(\frac{1}{9}\) | \(-2\) | \(3^{-2}=\frac{1}{9}\) |
| \(\frac{1}{3}\) | \(-1\) | \(3^{-1}=\frac{1}{3}\) |
| \(1\) | \(0\) | \(3^0=1\) |
| \(3\) | \(1\) | \(3^1=3\) |
| \(9\) | \(2\) | \(3^2=9\) |
Como la base \(3\) es mayor que \(1\), la función \(f(x)=\log_3(x)\) es creciente.
Ejercicio 2
Determina si cada función logarítmica es creciente o decreciente:
- \(f(x)=\log_5(x)\)
- \(g(x)=\log_{\frac{1}{3}}(x)\)
- \(h(x)=\log_{10}(x)\)
- \(p(x)=\log_{0{,}8}(x)\)
Para decidir, observamos la base:
- Si \(b>1\), la función es creciente.
- Si \(0<b<1\), la función es decreciente.
- \(\log_5(x)\): como \(5>1\), es creciente.
- \(\log_{\frac{1}{3}}(x)\): como \(0<\frac{1}{3}<1\), es decreciente.
- \(\log_{10}(x)\): como \(10>1\), es creciente.
- \(\log_{0{,}8}(x)\): como \(0<0{,}8<1\), es decreciente.
Crecientes: a) y c). Decrecientes: b) y d).
Ejercicio 3
Para la función \(f(x)=\log_2(x)\), identifica:
- El dominio.
- La asíntota vertical.
- El punto donde intersecta el eje \(X\).
- Si es creciente o decreciente.
- El dominio es \(x>0\), es decir, \((0,\infty)\), porque el argumento de un logaritmo debe ser positivo.
- La asíntota vertical es \(x=0\).
- La intersección con el eje \(X\) ocurre cuando \(f(x)=0\): \[ \log_2(x)=0 \] Esto equivale a: \[ 2^0=x \] Por lo tanto, \(x=1\). El punto es \((1,0)\).
- Como la base es \(2\), y \(2>1\), la función es creciente.
Dominio: \((0,\infty)\). Asíntota: \(x=0\). Intersección con el eje \(X\): \((1,0)\). Función creciente.
Ejercicio 4
Para la función \(g(x)=\log_{\frac{1}{4}}(x)\), identifica:
- El dominio.
- La asíntota vertical.
- El punto donde intersecta el eje \(X\).
- Si es creciente o decreciente.
- El dominio es \((0,\infty)\), porque el argumento del logaritmo debe ser positivo.
- La asíntota vertical es \(x=0\).
- Toda función \(y=\log_b(x)\) pasa por \((1,0)\), porque: \[ \log_b(1)=0 \] Entonces, la intersección con el eje \(X\) es \((1,0)\).
- Como la base es \(\frac{1}{4}\), y \(0<\frac{1}{4}<1\), la función es decreciente.
Dominio: \((0,\infty)\). Asíntota: \(x=0\). Intersección con el eje \(X\): \((1,0)\). Función decreciente.
Ejercicio 5
Compara \(f(x)=\log_2(x)\) y \(g(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x)\). Calcula ambas funciones para \(x=\frac{1}{2}\), \(x=1\) y \(x=2\).
| \(x\) | \(\log_2(x)\) | \(\log_{\frac{1}{2}}(x)\) |
|---|---|---|
| \(\frac{1}{2}\) | ? | ? |
| \(1\) | ? | ? |
| \(2\) | ? | ? |
| \(x\) | \(\log_2(x)\) | \(\log_{\frac{1}{2}}(x)\) |
|---|---|---|
| \(\frac{1}{2}\) | \(-1\) | \(1\) |
| \(1\) | \(0\) | \(0\) |
| \(2\) | \(1\) | \(-1\) |
Justificación:
- \(2^{-1}=\frac{1}{2}\), por eso \(\log_2\left(\frac{1}{2}\right)=-1\).
- \(\left(\frac{1}{2}\right)^1=\frac{1}{2}\), por eso \(\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)=1\).
- Ambas funciones valen \(0\) cuando \(x=1\).
- \(2^1=2\), por eso \(\log_2(2)=1\).
- \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=2\), por eso \(\log_{\frac{1}{2}}(2)=-1\).
Las funciones tienen valores opuestos para estos casos, porque sus bases son recíprocas.