La Función Logarítmica
7. Preimagen en funciones logarítmicas
Objetivos
- Interpretar \(f(x)=k\) como búsqueda de una preimagen.
- Resolver preimágenes en funciones logarítmicas simples y desplazadas.
- Relacionar la solución algebraica con la intersección gráfica.
¿Qué significa encontrar una preimagen?
Si \(f(x)=\log_2(x+1)\), pedir la preimagen de \(3\) significa buscar el valor de \(x\) que hace que la función valga \(3\):
\[ f(x)=3 \]
Eso conduce a una ecuación logarítmica, pero el significado sigue siendo funcional: buscamos qué entrada produce cierta salida.
Visualización con Cartesiano
La solución de \(f(x)=3\) se interpreta como la intersección entre la curva \(y=\log_2(x+1)\) y la recta horizontal \(y=3\).
Ejemplo 1: preimagen directa
Sea \(f(x)=\log_2(x)\). Encuentra la preimagen de \(4\).
Buscamos:
\[ f(x)=4 \]
\[ \log_2(x)=4 \]
\[ x=2^4=16 \]
La preimagen de \(4\) es \(16\).
Ejemplo 2: preimagen con desplazamiento
Sea \(g(x)=\log_2(x+1)\). Encuentra \(x\) si \(g(x)=3\).
\[ \log_2(x+1)=3 \]
\[ x+1=2^3 \]
\[ x+1=8 \]
\[ x=7 \]
Además, la restricción es \(x+1>0\), es decir \(x>-1\). La solución \(7\) cumple la restricción.
Ejercicio 1
Sea \(f(x)=\log_3(x)\). Encuentra la preimagen de \(2\).
\[ \log_3(x)=2 \Longleftrightarrow x=3^2 \]
\[ x=9 \]
Ejercicio 2
Sea \(g(x)=\log(x-4)\). Encuentra \(x\) si \(g(x)=2\).
\[ \log(x-4)=2 \]
\[ x-4=10^2=100 \]
\[ x=104 \]
La restricción es \(x-4>0\), o sea \(x>4\). La solución cumple.
Ejercicio 3
Sea \(h(x)=\log_2(x+1)\). Encuentra \(x\) si \(h(x)=5\).
\[ \log_2(x+1)=5 \]
\[ x+1=2^5=32 \]
\[ x=31 \]
La restricción es \(x+1>0\), entonces \(x>-1\). La solución cumple.
Ejercicio 4
Para \(f(x)=\log(x+9)\), ¿cuál es la preimagen de \(0\)?
\[ \log(x+9)=0 \]
\[ x+9=10^0=1 \]
\[ x=-8 \]
La restricción es \(x>-9\), y \(-8\) cumple.
Ejercicio 5
Explica por qué resolver \(f(x)=3\) puede verse como una intersección entre dos gráficas.
Porque \(f(x)=3\) significa buscar los puntos de la gráfica de \(y=f(x)\) cuya altura es \(3\). Eso equivale a intersectar la curva \(y=f(x)\) con la recta horizontal \(y=3\).
Para recordar
Las preimágenes conectan funciones y ecuaciones. Resolver una ecuación logarítmica simple puede interpretarse como buscar una entrada de la función.