5. Aplicando los Productos Notables a Situaciones Concretas
Aplicando los Productos Notables a Situaciones Concretas
Ahora que ya hemos estudiado los tres productos notables principales (cuadrado de un binomio - suma y resta, y suma por diferencia), vamos a aplicarlos en la resolución de problemas concretos. Estos problemas nos ayudarán a comprender mejor la utilidad de los productos notables en diferentes contextos.
Ejercicios
Nivel 1: Problemas de geometría que involucren el cálculo de áreas de cuadrados y rectángulos, donde los lados son expresiones algebraicas simples (4 ejercicios).
Problema 1: Calcula el área de un cuadrado cuyo lado mide \((x + 5)\) unidades.
Respuesta: El área de un cuadrado se calcula elevando al cuadrado la longitud de su lado. En este caso, el lado mide \((x + 5)\) unidades, por lo que el área es \((x + 5)^2\). Aplicando el producto notable del cuadrado de un binomio (suma), obtenemos: \((x + 5)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25\) unidades cuadradas.
Problema 2: Un rectángulo tiene una base que mide \((2x - 3)\) unidades y una altura que mide \((2x + 3)\) unidades. Calcula el área del rectángulo.
Respuesta: El área de un rectángulo se calcula multiplicando la base por la altura. En este caso, la base es \((2x - 3)\) y la altura es \((2x + 3)\), por lo que el área es \((2x - 3)(2x + 3)\). Aplicando el producto notable de la suma por diferencia, obtenemos: \((2x - 3)(2x + 3) = (2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9\) unidades cuadradas.
Problema 3: Encuentra la expresión para el área de un cuadrado cuyo lado mide \((3x - 2y)\) unidades.
Respuesta: El área de un cuadrado se calcula elevando al cuadrado la longitud de su lado. En este caso, el lado mide \((3x - 2y)\) unidades, por lo que el área es \((3x - 2y)^2\). Aplicando el producto notable del cuadrado de un binomio (resta), obtenemos: \((3x - 2y)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2y + (2y)^2 = 9x^2 - 12xy + 4y^2\) unidades cuadradas.
Problema 4: Un rectángulo tiene una base que mide \((x + 4)\) unidades y una altura que mide \((x - 4)\) unidades. Calcula el área del rectángulo.
Respuesta: El área de un rectángulo se calcula multiplicando la base por la altura. En este caso, la base es \((x + 4)\) y la altura es \((x - 4)\), por lo que el área es \((x + 4)(x - 4)\). Aplicando el producto notable de la suma por diferencia, obtenemos: \((x + 4)(x - 4) = x^2 - 4^2 = x^2 - 16\) unidades cuadradas.
Nivel 2: Problemas que combinen el cálculo de áreas con la suma o resta de otras áreas (4 ejercicios).
Problema 1: Se tiene un cuadrado de lado \((x + 2)\) metros. En el centro, se construye una fuente cuadrada de lado 'x' metros. Calcula el área restante del cuadrado que no está ocupada por la fuente.
Respuesta: El área del cuadrado grande es \((x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4\) metros cuadrados. El área de la fuente es \(x^2\) metros cuadrados. El área restante es la diferencia entre el área del cuadrado grande y el área de la fuente: \((x^2 + 4x + 4) - x^2 = 4x + 4\) metros cuadrados.
Problema 2: Se quiere pintar una pared rectangular de \((3x + 1)\) metros de largo y \((3x - 1)\) metros de ancho. En la pared hay una ventana cuadrada de lado 'x' metros que no se pintará. Calcula el área de la pared que se pintará.
Respuesta: El área de la pared es \((3x + 1)(3x - 1) = 9x^2 - 1\) metros cuadrados. El área de la ventana es \(x^2\) metros cuadrados. El área que se pintará es la diferencia entre el área de la pared y el área de la ventana: \((9x^2 - 1) - x^2 = 8x^2 - 1\) metros cuadrados.
Problema 3: Un marco de fotos cuadrado tiene un lado exterior que mide \((2x + 3)\) cm. El marco tiene un ancho uniforme de 2 cm. Calcula el área visible de la foto (el área interior del marco).
Respuesta: El lado interior del marco mide \((2x + 3) - 2 - 2 = (2x - 1)\) cm. El área visible de la foto es el área del cuadrado interior: \((2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1\) cm².
Problema 4: Se tiene un terreno cuadrado de lado \((4x + 5)\) metros. Se quiere construir una casa cuadrada en el centro, dejando un jardín alrededor. Si el lado de la casa mide \((2x + 1)\) metros, ¿cuál es el área del jardín?
Respuesta: El área del terreno es \((4x + 5)^2 = 16x^2 + 40x + 25\) metros cuadrados. El área de la casa es \((2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1\) metros cuadrados. El área del jardín es la diferencia entre el área del terreno y el área de la casa: \((16x^2 + 40x + 25) - (4x^2 + 4x + 1) = 12x^2 + 36x + 24\) metros cuadrados.
Nivel 3: Problemas de aplicación de productos notables a situaciones cotidianas (4 ejercicios).
Problema 1: Una empresa produce baldosas cuadradas. El costo de producción de cada baldosa depende de la longitud de su lado, 'x' cm, y se puede expresar como \((x + 3)^2\) pesos. Si la empresa vende cada baldosa a \((x + 5)^2\) pesos, ¿cuál es la expresión que representa la ganancia por cada baldosa vendida?
Respuesta: La ganancia por cada baldosa es la diferencia entre el precio de venta y el costo de producción: \((x + 5)^2 - (x + 3)^2\). Aplicando el producto notable de la suma por diferencia, obtenemos: \((x + 5 + x + 3)(x + 5 - x - 3) = (2x + 8)(2) = 4x + 16\) pesos.
Problema 2: Se quiere cercar un jardín rectangular con una valla. El largo del jardín es \((x + 7)\) metros y el ancho es \((x - 7)\) metros. Si el costo de la valla es de $10 por metro, ¿cuál es el costo total de cercar el jardín?
Respuesta: El perímetro del jardín es \(2 \cdot (largo + ancho) = 2 \cdot ((x + 7) + (x - 7)) = 2 \cdot (2x) = 4x\) metros. El costo total de la valla es el perímetro multiplicado por el costo por metro: \(4x \cdot 10 = 40x\) pesos.
Problema 3: Un capital de \((x + 100)\) pesos se invierte a un interés compuesto anual del 5%. ¿Cuál es la expresión que representa el monto total después de 2 años?
Respuesta: Después del primer año, el monto se multiplica por 1.05 (1 + 5%): \((x + 100) \cdot 1.05\). Después del segundo año, el monto se vuelve a multiplicar por 1.05: \((x + 100) \cdot 1.05 \cdot 1.05 = (x + 100) \cdot (1.05)^2\). Desarrollando el cuadrado, obtenemos: \((x + 100) \cdot (1.1025) = 1.1025x + 110.25\) pesos.
Problema 4: Se realiza una encuesta a \((x - 5)\) personas sobre su preferencia por un producto. Si la cantidad de personas que respondieron "sí" es \((x + 5)\) , ¿cuál es la expresión que representa a la cantidad de personas que respondio "no"?
Respuesta: La cantidad de personas que respondieron "no" se calcula restando la cantidad de personas que respondieron "sí" del total de personas encuestadas: \((x - 5) - (x + 5) = x - 5 - x - 5 = -10\). Como la cantidad de personas que respondieron "no" nos arroja un valor negativo (-10), esto significa que la situación planteada es **imposible**. No puede haber una cantidad negativa de personas que respondan "no". Además, sin importar el valor que tome 'x', siempre habría más personas respondiendo "sí" que el total de encuestados, lo cual tampoco es posible.