Ecuaciones Logaritmicas
3. Interpretación gráfica de ecuaciones logarítmicas
Objetivos
- Interpretar ecuaciones logarítmicas como intersecciones de gráficas.
- Relacionar solución algebraica y solución gráfica.
- Usar la representación cartesiana para estimar o verificar soluciones.
Resolver también es intersectar
Una ecuación como \(\log_2(x)=3\) puede verse como una intersección entre dos gráficas:
- la curva \(y=\log_2(x)\);
- la recta horizontal \(y=3\).
La coordenada \(x\) del punto de intersección es la solución de la ecuación.
Visualización con Cartesiano
La solución de \(\log_2(x)=3\) aparece en el punto \((8,3)\).
Ejemplo 1: solución algebraica y gráfica
Resuelve \(\log_2(x)=3\).
Algebraicamente:
\[ \log_2(x)=3 \Longleftrightarrow x=2^3 \]
\[ x=8 \]
Gráficamente, esto coincide con la intersección de \(y=\log_2(x)\) e \(y=3\), que ocurre en \((8,3)\).
La solución es \(x=8\).
Ejemplo 2: ecuación con desplazamiento
Resuelve \(\log(x-1)=2\), donde \(\log\) es decimal.
Restricción:
\[ x-1>0 \]
\[ x>1 \]
Resolución:
\[ \log(x-1)=2 \Longleftrightarrow x-1=10^2 \]
\[ x-1=100 \]
\[ x=101 \]
Gráficamente, la solución es la coordenada \(x\) donde la curva \(y=\log(x-1)\) alcanza la altura \(2\).
La solución es \(x=101\), y cumple la restricción \(x>1\).
Ejercicio 1
Resuelve \(\log_3(x)=2\) e interpreta la solución como una intersección.
Usamos la equivalencia entre forma logarítmica y forma exponencial:
\[ \log_3(x)=2 \Longleftrightarrow x=3^2 \]
\[ x=9 \]
Gráficamente, la solución corresponde a la intersección entre \(y=\log_3(x)\) y la recta horizontal \(y=2\).
La intersección ocurre en el punto \((9,2)\), por lo tanto la solución es \(x=9\).
Ejercicio 2
Resuelve \(\log(x+4)=1\) e indica la restricción.
Restricción:
El argumento del logaritmo debe ser positivo:
\[ x+4>0 \]
\[ x>-4 \]
Resolución:
Como \(\log\) es decimal:
\[ \log(x+4)=1 \Longleftrightarrow x+4=10^1 \]
\[ x+4=10 \]
\[ x=6 \]
La solución es \(x=6\), y cumple la restricción \(x>-4\).
Ejercicio 3
¿Qué recta horizontal se usa para interpretar gráficamente la ecuación \(\log_5(x)=4\)?
En una ecuación de la forma:
\[ \log_5(x)=4 \]
se compara la curva \(y=\log_5(x)\) con la recta horizontal cuyo valor de \(y\) es \(4\).
\[ y=4 \]
Se usa la recta horizontal \(y=4\). La solución es la coordenada \(x\) donde \(y=\log_5(x)\) intersecta esa recta.
Ejercicio 4
Explica por qué la gráfica puede ayudar a detectar que una solución no pertenece al dominio.
Una función logarítmica solo existe cuando su argumento es positivo.
Por ejemplo, en una función como \(y=\log(x-1)\), se exige:
\[ x-1>0 \]
\[ x>1 \]
La gráfica muestra esta restricción porque solo aparece a un lado de su asíntota vertical. Si una solución algebraica queda fuera de esa zona, no pertenece al dominio de la función original.
La gráfica ayuda a verificar si la solución está dentro del dominio permitido.
Para recordar
Una ecuación logarítmica puede resolverse algebraicamente, pero la gráfica ayuda a interpretar qué significa la solución y a verificar si está en el dominio de la función.