La Función Logarítmica
2. Repaso: definición de logaritmo
Repaso: definición de logaritmo
El logaritmo como exponente
Recordemos que el logaritmo indica el exponente al que se debe elevar una base para obtener un número.
La forma exponencial y la forma logarítmica son equivalentes:
\[ b^y=x \quad\Longleftrightarrow\quad \log_b(x)=y \]
Propiedades fundamentales
Reglas de los logaritmos
Las siguientes propiedades son válidas para bases permitidas, es decir, \(b>0\) y \(b\neq 1\), y para argumentos positivos.
| Propiedad | Regla |
|---|---|
| Logaritmo de un producto | \(\log_b(x\cdot y)=\log_b(x)+\log_b(y)\) |
| Logaritmo de un cociente | \(\log_b\left(\frac{x}{y}\right)=\log_b(x)-\log_b(y)\) |
| Logaritmo de una potencia | \(\log_b(x^n)=n\cdot \log_b(x)\) |
| Logaritmo de la base | \(\log_b(b)=1\) |
| Logaritmo de \(1\) | \(\log_b(1)=0\) |
| Cambio de base | \(\log_a(x)=\dfrac{\log_b(x)}{\log_b(a)}\) |
Ejemplos de las propiedades en acción
Ejemplos de aplicación
Veamos cómo se aplican las propiedades principales con ejemplos concretos.
Logaritmo de un producto:
\[ \log_2(8\cdot 4)=\log_2(8)+\log_2(4) \]
\[ \log_2(8\cdot 4)=3+2=5 \]
Verificación: \[ 8\cdot 4=32 \qquad\text{y}\qquad 2^5=32 \]
Logaritmo de un cociente:
\[ \log\left(\frac{100}{10}\right)=\log(100)-\log(10) \]
\[ \log\left(\frac{100}{10}\right)=2-1=1 \]
Verificación: \[ \frac{100}{10}=10 \qquad\text{y}\qquad \log(10)=1 \]
Logaritmo de una potencia:
\[ \log_2(8^3)=3\cdot \log_2(8) \]
\[ \log_2(8^3)=3\cdot 3=9 \]
Verificación: \[ 8^3=512 \qquad\text{y}\qquad 2^9=512 \]
Cambio de base:
Para calcular \(\log_2(5)\) usando una calculadora que tenga \(\log\), se puede escribir:
\[ \log_2(5)=\frac{\log(5)}{\log(2)} \]
\[ \log_2(5)\approx \frac{0{,}699}{0{,}301}\approx 2{,}32 \]
La propiedad clave
La propiedad del logaritmo de una potencia, \[ \log_b(x^n)=n\cdot \log_b(x) \] es especialmente importante para resolver ecuaciones exponenciales, porque permite bajar el exponente y trabajar con él como factor.
Errores comunes que debes evitar
Los logaritmos no se distribuyen sobre sumas o restas. Las siguientes igualdades son falsas:
- \(\log_b(x+y)\neq \log_b(x)+\log_b(y)\)
- \(\log_b(x-y)\neq \log_b(x)-\log_b(y)\)
- \(\dfrac{\log_b(x)}{\log_b(y)}\neq \log_b(x-y)\)
Ejercicios
Ejercicio 1
Calcula sin usar calculadora:
- \(\log_7(1)\)
- \(\log_5(5)\)
- \(\log(10)\)
- \(\ln(e)\)
- \[ \log_7(1)=0 \] porque \(7^0=1\).
- \[ \log_5(5)=1 \] porque \(5^1=5\).
- Como \(\log\) sin base escrita corresponde a base \(10\): \[ \log(10)=1 \] porque \(10^1=10\).
- \[ \ln(e)=1 \] porque \(e^1=e\).
Ejercicio 2
Expresa como un solo logaritmo:
- \(\log_2(5)+\log_2(3)\)
- \(\log(100)-\log(10)\)
- \(3\cdot \log_5(4)\)
- \(\log_3(10)+\log_3(2)-\log_3(4)\)
- \(2\log(5)+\log(4)\)
- \(\log_2(20)-2\log_2(5)\)
- Usamos la propiedad del producto: \[ \log_2(5)+\log_2(3)=\log_2(5\cdot 3)=\log_2(15) \]
- Usamos la propiedad del cociente: \[ \log(100)-\log(10)=\log\left(\frac{100}{10}\right)=\log(10) \] Además, \(\log(10)=1\).
- Usamos la propiedad de la potencia: \[ 3\log_5(4)=\log_5(4^3)=\log_5(64) \]
- Primero unimos los productos y luego el cociente: \[ \log_3(10)+\log_3(2)-\log_3(4) = \log_3\left(\frac{10\cdot 2}{4}\right) \] \[ \log_3\left(\frac{20}{4}\right)=\log_3(5) \]
- Bajamos el coeficiente \(2\) como exponente: \[ 2\log(5)+\log(4)=\log(5^2)+\log(4) \] Luego usamos la propiedad del producto: \[ \log(25)+\log(4)=\log(25\cdot 4)=\log(100) \] Además, \(\log(100)=2\).
- Primero aplicamos la propiedad de la potencia: \[ \log_2(20)-2\log_2(5)=\log_2(20)-\log_2(5^2) \] Luego usamos la propiedad del cociente: \[ \log_2(20)-\log_2(25)=\log_2\left(\frac{20}{25}\right) \] Simplificamos: \[ \log_2\left(\frac{20}{25}\right)=\log_2\left(\frac{4}{5}\right) \]
Ejercicio 3
Simplifica las siguientes expresiones:
- \(\log_3(9\cdot 27)\)
- \(\log_2\left(\frac{64}{16}\right)\)
- \(\log_5(25^4)\)
- \(\log(1000^6)\)
- \(\log_2(8)+\log_2(4)-\log_2(2)\)
- \(2\log_3(9)+\log_3(3)-\log_3(27)\)
- \(\log_4(8)+\log_4(2)\)
- \(\log(\sqrt{10})\)
- \[ \log_3(9\cdot 27)=\log_3(9)+\log_3(27) \] \[ 2+3=5 \]
- \[ \log_2\left(\frac{64}{16}\right)=\log_2(64)-\log_2(16) \] \[ 6-4=2 \]
- \[ \log_5(25^4)=4\log_5(25) \] \[ 4\cdot 2=8 \]
- \[ \log(1000^6)=6\log(1000) \] \[ 6\cdot 3=18 \]
- \[ \log_2(8)+\log_2(4)-\log_2(2)=3+2-1=4 \]
- \[ 2\log_3(9)+\log_3(3)-\log_3(27) \] \[ 2\cdot 2+1-3=4+1-3=2 \]
- \[ \log_4(8)+\log_4(2)=\log_4(8\cdot 2) \] \[ \log_4(16)=2 \]
- Como \(\sqrt{10}=10^{\frac{1}{2}}\): \[ \log(\sqrt{10})=\log\left(10^{\frac{1}{2}}\right) \] \[ \log\left(10^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}\log(10)=\frac{1}{2} \]
Ejercicio 4
Si \(\log_2(x)=3\) y \(\log_2(y)=4\), calcula:
- \(\log_2(xy)\)
- \(\log_2\left(\frac{x}{y}\right)\)
- \(\log_2(x^5)\)
- \(\log_2(\sqrt{x})\)
- \(\log_2(x^2y^3)\)
- \(\log_2\left(\frac{1}{x}\right)\)
- \[ \log_2(xy)=\log_2(x)+\log_2(y) \] \[ 3+4=7 \]
- \[ \log_2\left(\frac{x}{y}\right)=\log_2(x)-\log_2(y) \] \[ 3-4=-1 \]
- \[ \log_2(x^5)=5\log_2(x) \] \[ 5\cdot 3=15 \]
- Como \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\): \[ \log_2(\sqrt{x})=\log_2\left(x^{\frac{1}{2}}\right) \] \[ \frac{1}{2}\log_2(x)=\frac{1}{2}\cdot 3=\frac{3}{2} \]
- \[ \log_2(x^2y^3)=\log_2(x^2)+\log_2(y^3) \] \[ 2\log_2(x)+3\log_2(y) \] \[ 2\cdot 3+3\cdot 4=6+12=18 \]
- Como \(\frac{1}{x}=x^{-1}\): \[ \log_2\left(\frac{1}{x}\right)=\log_2(x^{-1}) \] \[ -1\cdot \log_2(x)=-3 \]
Ejercicio 5
Usa la propiedad de cambio de base para calcular \(\log_2(7)\) con tres decimales.
Usamos la propiedad de cambio de base:
\[ \log_2(7)=\frac{\log(7)}{\log(2)} \]
Aproximando:
\[ \log(7)\approx 0{,}845 \qquad\text{y}\qquad \log(2)\approx 0{,}301 \]
Entonces:
\[ \log_2(7)\approx \frac{0{,}845}{0{,}301} \]
\[ \log_2(7)\approx 2{,}807 \]
\(\log_2(7)\approx 2{,}807\).
Ejercicio 6
Sabiendo que \(\log(2)\approx 0{,}301\) y que \(\log(3)\approx 0{,}477\), calcula \(\log(6)\) y \(\log(18)\).
Para \(\log(6)\), escribimos \(6=2\cdot 3\):
\[ \log(6)=\log(2\cdot 3) \]
\[ \log(6)=\log(2)+\log(3) \]
\[ \log(6)\approx 0{,}301+0{,}477=0{,}778 \]
Para \(\log(18)\), escribimos \(18=2\cdot 3^2\):
\[ \log(18)=\log(2\cdot 3^2) \]
\[ \log(18)=\log(2)+\log(3^2) \]
\[ \log(18)=\log(2)+2\log(3) \]
\[ \log(18)\approx 0{,}301+2(0{,}477)=1{,}255 \]
\(\log(6)\approx 0{,}778\) y \(\log(18)\approx 1{,}255\).
Ejercicio 7
Si \(\log(a)=x\), ¿cuál es el valor de \(\log(100a)\)?
Usamos la propiedad del producto:
\[ \log(100a)=\log(100)+\log(a) \]
Como \(\log(100)=2\) y \(\log(a)=x\), entonces:
\[ \log(100a)=2+x \]
\(\log(100a)=x+2\).