La Función Exponencial
6. Preimagen en funciones exponenciales: de la función a la ecuación
Objetivos
- Interpretar \(f(x)=k\) como búsqueda de una preimagen en una función exponencial.
- Relacionar modelos exponenciales con ecuaciones exponenciales.
- Usar una representación cartesiana para estimar o verificar soluciones.
De la función a la ecuación
Una función exponencial puede modelar una cantidad que cambia multiplicándose por un mismo factor en cada intervalo.
Por ejemplo:
\[ f(t)=100\cdot 2^t \]
Si preguntamos cuándo la cantidad llega a \(800\), no estamos construyendo una función nueva: estamos buscando una entrada \(t\) que produzca esa salida.
\[ f(t)=800 \]
Entonces aparece una ecuación exponencial:
\[ 100\cdot 2^t=800 \]
Idea clave
Resolver una ecuación exponencial puede interpretarse como encontrar la preimagen de un valor en una función exponencial.
En otras palabras, si \(f(x)=a\cdot b^x\), resolver \(f(x)=k\) significa buscar el valor de \(x\) cuya imagen es \(k\).
Visualización con Cartesiano
La solución de \(100\cdot 2^t=800\) se puede ver como la intersección entre la curva \(y=100\cdot 2^t\) y la recta horizontal \(y=800\).
Ejemplo 1: crecimiento duplicado
Una población de bacterias se modela por:
\[ f(t)=100\cdot 2^t \]
donde \(t\) representa el tiempo en horas. ¿En qué momento la población llega a \(800\) bacterias?
Buscamos la preimagen de \(800\):
\[ f(t)=800 \]
\[ 100\cdot 2^t=800 \]
Dividimos por \(100\):
\[ 2^t=8 \]
Como \(8=2^3\), entonces:
\[ 2^t=2^3 \]
\[ t=3 \]
La población llega a \(800\) bacterias después de \(3\) horas.
Ejemplo 2: decrecimiento exponencial
La cantidad de una sustancia se modela por:
\[ A(t)=640\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^t \]
¿Cuándo quedan \(80\) unidades de la sustancia?
Buscamos la preimagen de \(80\):
\[ A(t)=80 \]
\[ 640\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^t=80 \]
Dividimos por \(640\):
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^t=\frac{80}{640} \]
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^t=\frac{1}{8} \]
Como \(\frac{1}{8}=\left(\frac{1}{2}\right)^3\), se obtiene:
\[ t=3 \]
Quedan \(80\) unidades después de \(3\) unidades de tiempo.
Procedimiento
- Identifica la función exponencial \(f(x)=a\cdot b^x\).
- Reconoce el valor objetivo \(k\).
- Plantea la ecuación \(f(x)=k\).
- Resuelve usando potencias equivalentes o logaritmos, según corresponda.
- Interpreta la solución en el contexto del problema.
Ejercicio 1
Sea \(f(t)=50\cdot 2^t\). Encuentra la preimagen de \(400\).
Planteamos:
\[ 50\cdot 2^t=400 \]
Dividimos por \(50\):
\[ 2^t=8 \]
Como \(8=2^3\), entonces:
\[ 2^t=2^3 \]
\[ t=3 \]
La preimagen de \(400\) es \(3\).
Ejercicio 2
Sea \(g(x)=3^x\). Encuentra \(x\) si \(g(x)=81\).
Buscamos:
\[ 3^x=81 \]
Como \(81=3^4\), se tiene:
\[ 3^x=3^4 \]
\[ x=4 \]
La solución es \(x=4\).
Ejercicio 3
Una cantidad se modela por \(A(t)=500\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^t\). ¿Cuándo llega a \(125\)?
Planteamos:
\[ 500\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^t=125 \]
Dividimos por \(500\):
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^t=\frac{125}{500} \]
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^t=\frac{1}{4} \]
Como \(\frac{1}{4}=\left(\frac{1}{2}\right)^2\), entonces:
\[ t=2 \]
La cantidad llega a \(125\) cuando \(t=2\).
Ejercicio 4
Sea \(h(x)=20\cdot 5^x\). Encuentra la ecuación que permite determinar cuándo \(h(x)=2500\), y resuélvela.
La ecuación es:
\[ 20\cdot 5^x=2500 \]
Dividimos por \(20\):
\[ 5^x=125 \]
Como \(125=5^3\), entonces:
\[ 5^x=5^3 \]
\[ x=3 \]
La ecuación es \(20\cdot 5^x=2500\), y su solución es \(x=3\).
Ejercicio 5
La función \(P(t)=1000\cdot 1{,}1^t\) modela una población. ¿Qué ecuación permite encontrar cuándo la población llega a \(2000\)?
Para encontrar cuándo la población llega a \(2000\), se plantea:
\[ 1000\cdot 1{,}1^t=2000 \]
Dividimos por \(1000\):
\[ 1{,}1^t=2 \]
Esta ecuación no se resuelve fácilmente igualando bases simples. Usando logaritmos:
\[ t=\frac{\log(2)}{\log(1{,}1)} \]
\[ t\approx 7{,}27 \]
La ecuación es \(1000\cdot 1{,}1^t=2000\), y la población llega a \(2000\) aproximadamente cuando \(t=7{,}27\).
Ejercicio 6
Explica con tus palabras qué significa resolver \(f(x)=k\) cuando \(f\) es una función exponencial.
Significa buscar el valor de entrada \(x\) que hace que la función tome el valor \(k\).
En el plano cartesiano, corresponde a encontrar dónde la curva exponencial \(y=f(x)\) intersecta la recta horizontal \(y=k\).
Resolver \(f(x)=k\) es encontrar la preimagen de \(k\).
Para recordar
La función exponencial describe cómo cambia una cantidad. La ecuación exponencial aparece cuando preguntamos cuándo esa cantidad alcanza un valor determinado.