combinatoria y probabilidades
1. Combinatoria: ¿por qué necesitamos contar?
Objetivo de aprendizaje
- Comprender la necesidad de usar técnicas de conteo para resolver problemas donde listar todos los casos sería poco práctico.
- Reconocer que una situación de conteo puede depender del orden, la repetición y la cantidad de elementos utilizados.
Idea inicial
La combinatoria estudia formas de contar posibilidades sin tener que escribirlas una por una.
En algunos problemas simples podemos hacer una lista completa de casos. Sin embargo, cuando la cantidad de posibilidades aumenta, necesitamos procedimientos más eficientes.
Ejemplo 1: contar haciendo una lista
Una persona tiene 2 poleras: una roja \(R\) y una azul \(A\). También tiene 2 pantalones: uno negro \(N\) y uno gris \(G\).
Las combinaciones posibles son:
- \(RN\): polera roja y pantalón negro.
- \(RG\): polera roja y pantalón gris.
- \(AN\): polera azul y pantalón negro.
- \(AG\): polera azul y pantalón gris.
En total hay:
\[ 4 \]
formas distintas de vestirse.
Observación
En el ejemplo anterior fue posible escribir todas las opciones porque eran pocas. Pero si hubiera muchas poleras, muchos pantalones y varios pares de zapatos, la lista crecería rápidamente.
Ejemplo 2: cuando listar ya no conviene
Una persona tiene 5 poleras, 4 pantalones y 3 pares de zapatos. Quiere elegir una polera, un pantalón y un par de zapatos.
Si intentáramos listar todas las opciones, la lista sería extensa. En cambio, podemos razonar por etapas:
- Para elegir la polera hay \(5\) opciones.
- Por cada polera, hay \(4\) opciones de pantalón.
- Por cada combinación anterior, hay \(3\) opciones de zapatos.
Entonces, la cantidad total de formas de vestirse es:
\[ 5\cdot 4\cdot 3=60 \]
Por lo tanto, hay \(60\) formas distintas de vestirse.
Preguntas clave de la combinatoria
Antes de aplicar una técnica de conteo, conviene hacerse tres preguntas:
- ¿Importa el orden?
- ¿Se pueden repetir elementos?
- ¿Se usan todos los elementos o solo algunos?
Ejemplo 3: el orden puede cambiar el resultado
Supongamos que Ana, Bruno y Camila participan en una competencia y se deben asignar primer, segundo y tercer lugar.
Una posibilidad es:
\[ \text{Ana},\ \text{Bruno},\ \text{Camila} \]
Otra posibilidad es:
\[ \text{Bruno},\ \text{Ana},\ \text{Camila} \]
Aunque aparecen las mismas tres personas, el resultado es distinto porque el orden representa lugares diferentes.
En este caso, el orden sí importa.
Ejemplo 4: el orden puede no importar
Ahora supongamos que se debe elegir un grupo de 3 estudiantes para representar al curso, sin cargos ni puestos distintos.
Elegir a:
\[ \text{Ana},\ \text{Bruno},\ \text{Camila} \]
es lo mismo que elegir a:
\[ \text{Camila},\ \text{Ana},\ \text{Bruno} \]
El grupo es el mismo, aunque se escriba en otro orden.
En este caso, el orden no importa.
Error común
Un error frecuente es usar la misma forma de contar en todos los problemas. No basta con mirar los números del enunciado: primero hay que interpretar la situación.
No es lo mismo formar una clave, ordenar personas en una fila o elegir un comité.
Ejercicio 1
Una cafetería ofrece 3 tipos de pan y 2 tipos de agregado. ¿Cuántos sándwiches distintos se pueden formar eligiendo un tipo de pan y un tipo de agregado?
Se elige en dos etapas:
- Primero, el tipo de pan: \(3\) opciones.
- Luego, el tipo de agregado: \(2\) opciones.
Por cada tipo de pan se pueden elegir \(2\) agregados, por lo tanto:
\[ 3\cdot 2=6 \]
Se pueden formar \(6\) sándwiches distintos.
Ejercicio 2
Un curso debe elegir presidente, secretario y tesorero entre 5 estudiantes. ¿Importa el orden o no importa? Justifica tu respuesta.
Sí, el orden importa, porque los cargos son distintos.
No es lo mismo que Ana sea presidenta y Bruno secretario, a que Bruno sea presidente y Ana secretario.
Por ejemplo:
\[ (\text{Ana},\text{Bruno},\text{Camila}) \]
puede representar:
\[ \text{presidenta, secretario, tesorera} \]
Si se cambia el orden, cambian los cargos asignados. Por eso, en este tipo de situación el orden sí importa.
Ejercicio 3
Se quiere elegir un grupo de 3 estudiantes entre 8 para participar en una actividad. No hay cargos ni funciones distintas. ¿Importa el orden? Justifica.
No, el orden no importa, porque solo se está formando un grupo.
Por ejemplo, elegir a:
\[ \text{Ana},\ \text{Bruno},\ \text{Camila} \]
es lo mismo que elegir a:
\[ \text{Camila},\ \text{Bruno},\ \text{Ana} \]
Las personas elegidas son las mismas. Como no hay cargos distintos, cambiar el orden en que se escriben no genera un nuevo grupo.
Ejercicio 4
Una clave de 3 caracteres se forma usando las letras \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\). Se permite repetir letras. ¿Cuántas claves distintas se pueden formar?
La clave tiene 3 posiciones.
Como se permite repetir letras, en cada posición hay \(4\) opciones:
\[ 4\cdot 4\cdot 4 \]
Entonces:
\[ 4^3=64 \]
Se pueden formar \(64\) claves distintas.
En este problema el orden importa, porque \(ABC\) y \(CBA\) son claves diferentes.
Para continuar
En la próxima página se estudiará el principio multiplicativo, que permite contar posibilidades cuando una elección se realiza en varias etapas.